无穷级数和微分方程的关系(把无穷级数整体当作变量)

无穷级数和微分方程的关系(把无穷级数整体当作变量)

求S=1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!的值,

对S两次微分有S''=S,

采用微分算子法有y^2-1=0,可以解得S=A*e^x+B*e^(-x)

用待定系数法有：

y=1=A+B

y'=0=A-B

解得为A=B=1/2

所以S=1/2*{e^x+e^(-x)}

由前面的推导，在实数领域内cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!

如果将它推导至于complex领域，可以知道S=1/2*{e^x+e^(-x)}=cos  ix;

 

 

对上面的思维推广，同样可以发现sin ix的特征。因为

S=x^1/1!-x^3/3!+x^5/5!-

同样有y^2-1=0,可以解得S=A*e^x+B*e^(-x)：

不过待定系数法不同：

y=0=A+B

y'=1=A-B

解得A=1/2,B=-1/2

所以S=1/2*{e^x-e^(-x)}=sin  ix;