【知识点】（六）微分方程和无穷级数

微分方程

1. 一阶微分

• 可分离变量：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\to \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$

• 齐次方程：$$\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})\to 令u=\frac{y}{x}，即y=xu，则\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}，回代再分离变量积分$$

2. 一阶线性

• 一阶线性：$$\frac{dy}{dx}+P(x)dy=Q(x)\to y=e^{-\int P(x)dx}[C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx]$$

• 伯努利方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)dy=Q(x)y^n\to 令z=y^{1-n}，即\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}，回代再一阶线性积分$$

3. 二阶可降阶微分

• $y^{{}^{\prime \prime }}=f(x,y^{{}^{\prime }})$： $$令y^{{}^{\prime }}=p(x)，则y^{{}^{\prime \prime }}=p^{{}^{\prime }}，回代得p^{{}^{\prime }}=f(x,p)$$

• $y^{{}^{\prime \prime }}=f(y,y^{{}^{\prime }})$： $$令y^{{}^{\prime }}=p(y)，则y^{{}^{\prime \prime }}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p，回代得p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$$

4. 二阶线性微分

• 齐次方程通解 $y$：
  $$y^{{}^{\prime \prime }}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=0\to {\lambda }^2+p\lambda +q=0$$

特征方程	通解 $y$
$p^2-4q>0$	$C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$
$p^2-4q=0$	$(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}$
$$\begin{gathered} p^2-4q<0 \\ \lambda =\alpha \pm i\beta \end{gathered}$$	$e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

• 非齐次方程特解 $y^{\ast }$：
  $$y^{{}^{\prime \prime }}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=f(x)$$

特征方程	特解形式 $y$	备注
$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$	$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}{Q}_m(x)$	$$\begin{gathered} \lambda 与特征方程根相等数量\to k=0,1,2 \\ P(x)=3x+1\to Q_m(x)=ax+b \end{gathered}$$
$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+P_n(x)\sin \omega x]$	$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m(x)\cos \omega x+R_m(x)\sin \omega x]$	λ ± i ω 与 特 征 方 程 根 是 否 相 等 → k = 0 , 1 R m ( x ) 是 m 次 多 项 式 → m = m a x { l , n } \lambda ± i\omega 与特征方程根是否相等 \to k=0,1 \\ R_m(x)是m次多项式 \to m=max\{l,n\} λ±iω与特征方程根是否相等→k=0,1Rm​(x)是m次多项式→m=max{l,n}

5. 微分算子法快速求特解

• 定义符号：$$D=\frac{d}{dx}，D表示求导；\frac{1}{D}=\int ，\frac{1}{D}表示积分$$

• 改写微分方程：$$y^{{}^{\prime \prime }}+y^{{}^{\prime }}+y=f(x)\to D^{2}y+Dy+y=f(x)，即y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}f(x)$$

• $f(x)=e^{kx}$，见 $D$ 代 $k$： $$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}{e}^{kx}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{F(k)}{e}^{kx}& \text{ F(k) = 0}\\ x^m\frac{1}{F^m(k)}{e}^{kx}& \text{ F(k) = 0}\end{array}$$

• $f(x)=\sin ax$，见 $D^2$ 代 $-a^2$： $$y^{\ast }=\frac{1}{F(D^2)}\sin ax=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{F(-a^2)}\sin ax& \text{ F(−a2) = 0}\\ x^m\frac{1}{F^m(k)}\sin ax& \text{ F(−a2) = 0}\end{array}$$

• $f(x)=e^{kx}v(x)$，见 $D$ 代 $D+k$： $$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}{e}^{kx}v(x)=e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}v(x)$$

• $f(x)=P_n(x)$，$\frac{1}{F(D)}$凑无穷级数代换 ： $$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}{P}_n(x)\to \frac{a}{1-q}=a+aq+a{q}^2+...+a{q}^n+...$$

• $f(x)=P_n(x)\sin ax$，欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 代换： $$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}{P}_n(x)\sin ax=虚部[\frac{1}{F(D)}{P}_n(x)e^{iax}]$$ $$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}{P}_n(x)\cos ax=实部[\frac{1}{F(D)}{P}_n(x)e^{iax}]$$

无穷级数

1. 概念和性质

级数的英文是 $series$，直译过来是序列，级数参考了中国古代的“垛积术”，取“积”的谐音“级”，有着逐级而上的含义。同时，级数是对数列的求和数。
收敛的英文是 $converge$，直译过来是汇聚收缩，级数收敛即级数值收缩于稳定点。

无穷级数：无穷数列 { u 1 , u 2 , . . . , u n , . . . } \{u_1, u_2, ... , u_n, ...\} {u1​,u2​,...,un​,...} 的和。 $$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+...+u_n+...$$
必要条件：$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛\to \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$$

性质：$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛/发散\to \sum _{n=1}^{\infty }c{u}_n(c\ne 0)收敛/发散$$ $$收敛+收敛=收敛收敛+发散=发散$$ $$增减改变有限项，敛散性不变括号增加收敛性，绝对值增加发散性$$

公式：

• 几何级数：$$\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}=a+aq+a{q}^2+...+a{q}^n+...=\{\begin{array}{l}|q|<1收敛\\ |q|\ge 1发散\end{array}$$
• $p$ 级数：$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+...+\frac{1}{n^p}+...=\{\begin{array}{l}p>1收敛\\ p\le 1发散\end{array}$$
• $$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n{\ln }^{p}n}=\frac{1}{2{\ln }^{p}2}+\frac{1}{3{\ln }^{p}3}+\frac{1}{n{\ln }^{p}n}+...+\frac{1}{n{\ln }^{p}n}+...=\{\begin{array}{l}p>1收敛\\ p\le 1发散\end{array}$$

2. 正项级数

前 $n$ 项部分和：$S_n=u_1+u_2+...+u_n$，可以借助 $S_n$ 和极限描述无穷级数敛散性，极限存在则收敛，反之则发散。$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$$

充要条件： 数 列 { S n } 有 上 界 < = > ∑ n = 1 ∞ u n 收 敛 数列 \{S_n\} 有上界 <=>\sum_{n=1}^{\infin}u_n 收敛 数列{Sn​}有上界<=>n=1∑∞​un​收敛

比较判别 $u_n\le c{v}_n$：$$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n收敛，则\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛；\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n发散，则\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n发散$$

比较判别极限形式：$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l(0<l<+\infty )，\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n和\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n敛散性相同$$

比值判别：$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho \{\begin{array}{l}<1收敛\\ >1发散\end{array}$$

根值判别：$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\sqrt[n]{u}}_n=\rho \{\begin{array}{l}<1收敛\\ >1发散\end{array}$$

3. 任意项级数

绝对收敛：$$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|收敛，则\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n绝对收敛$$

条件收敛：$$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|发散，而\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛，则\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n条件收敛$$

交错级数：$$u_n\ge u_{n+1}且\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0，则\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n收敛$$

4. 函数项级数

函数项级数：$$\sum _{n=0}^{\infty }{u}_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...=S(x)$$
求收敛域： $$比值法\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|<1根值法\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n(x)|}<1$$

5. 幂级数

幂级数：$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n+...$$

缺项求收敛域：$$比值法\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|<1根值法\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n(x)|}<1$$

不缺求收敛半径：$$比值法\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho 根值法\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho 收敛半径R=\frac{1}{\rho }$$

6. 和函数及幂级数展开

和函数：
幂级数展开：
$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n}x\in (-1,1)e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}x\in (-\infty ,\infty )$$ $$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}x\in (-\infty ,\infty )\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}x\in (-\infty ,\infty )$$ $$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}x\in (-1,1](1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}{x}^{n}x\in (-1,1)$$