【离散数学】1.2特殊集合与集合间关系

空集

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定义

不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记作$\emptyset$
空集可以符号化为$\emptyset=\{x|x\not=x\}$

举例

• 设$A=\{x|x\in R, x^2<0\}$，则$A=\emptyset$
• $|\emptyset|=0, |\{\emptyset\}|=1$

空集是绝对唯一的

全集

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定义

针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集（universal set），记作$\bigcup$或E
在文氏图一般使用方形表示全集。

举例

• 在立体几何中，全集是由空间的全体点组成的；
• 在我国的人口普查中，全集是由我国所有人组成的。

全集是相对唯一的

集合的相等关系

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元素的基本特性

• 集合中的元素是无序的。$\{1, 2, 3, 4\}$与$\{2, 3, 1, 4\}$相同。
• 集合中的元素是不同的。$\{1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2\}$与$\{1, 2, 3, 4\}$相同。

举例

设$E=\{x|(x-1)(x-2)(x-3)=0, x\in R\},F=\{x|x\in Z^+, x^2<12\}$，可见E和F具有相同的元素$\{1, 2, 3\}$，此时称两个集合相等

外延性原理

两个集合A和B相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为A=B，否则A和B不相等，记为A≠B

子集和真子集

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举例

设A={BASIC, PASCAL, ADA}，B={ADA, PASCAL}，此时A中含有B中所有的元素，这种情况称为A包含B

定义

设A, B是任意两个集合，

• 如果B的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，也称作B被A包含或A包含B，记作B$\subseteq$A
• 如果B$\subseteq$A并且A≠B，则称B是A的真子集，也称作B被A真包含或A真包含B，记作B$\subset$A，否则记作B$\not\subset$A

“$\subseteq$”关系的数学语言描述为：B$\subseteq$A$\Longleftrightarrow$对$\forall x$，如果$x\in B$，则$x\in A$

文氏图

由子集定义可有

1. $\emptyset\subseteq A$
2. $A\subseteq A$

举例

已知A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2, 4}, C={2, 3}, D={3 ,2}，可见

1. $A\subseteq A$, $B\subseteq A$, $C\subseteq A$, $D\subseteq A$
2. $C\subseteq D$, $D\subseteq C$，同时，C=D

证明集合相等

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设A, B为任意两个集合，则A=B$\Longleftrightarrow$A$\subseteq$B并且B$\subseteq$A

上面的定理非常重要，这是证明集合相等的一种非常有效的方式。

证明框架

证明：

1. 首先证明A$\subseteq$B：$\forall x\in A,…, x\in B\;\therefore A\subseteq B$
2. 其次证明B$\subseteq$A：$\forall x\in B,…, x\in A\;\therefore B\subseteq A$

由以上两点，可知A=B。

n元集的子集

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举例

设A={a, b, c}，求出A的所有子集。
解：由于|A|=3，因而 A 的子集可能包含的元素个数m=0, 1, 2, 3

• m=0,即没有任何元素，也就是空集∅
• m=1,从A中任取1个元素，则有$C^1_3=3$个：{a}, {b}, {c}
• m=2,从A中任取2个元素，则有$C^2_3=3$个：{a, b}, {b, c}, {a, c}
• m=3,从A中任取3个元素，则有$C^3_3=1$个：{a, b, c}

以上8个集合就是A的所有子集。

推广：对于任意n元集合A，它的m元(0⩽m⩽n)子集个数为$C^m_n$个,所以不同的子集个数为：$C^0_n+C^1_n+…+C^n_n=(1+1)^n=2^n$

幂集

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定义

设A为任意集合，把A的所有不同子集构成的集合叫做A的幂集(power set),记作P(A)，即

$$P(A)=\{x|x\subseteq A\}$$

由此可得

$$x\in P(A)\Longleftrightarrow x\subseteq A$$

举例

设A={a, b, c}，B={a, {b, c}}，求他们的幂集P(A)和P(B)。
解：P(A)={∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}
P(B)={∅, {a}, {{b, c}}, {a, {b, c}}}

说明

幂集也叫做集族或集合的集合，对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。