离散数学-集合

1.集合

1.1.集合的基本概念和表示方法

集合的表示方法：
1.列举法
2.描述法：描述法:用句子(或谓词公式)描述元素属性。
集合的性质:
1.无序性，互异性

1.2.集合间的关系

包含关系：
1.定义:A、B是集合，如果A中元素都是B中元素，则称B包含A，A包含于B，记作A⊆B
包含关系的谓词公式定义：A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)
性质：自反性、传递性、反对称性
相等关系
1.定义:A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则称A与B相等。记作A=B。
相等关系的谓词公式定义：A=B⇔(A⊆B∧B⊆A)⇔∀x(x∈A<->x∈B)
集合相等关系的判定
定理: A=B，当且仅当A⊆B且B⊆A。

有自反性、传递性和对称性。
3.真包含关系（真子集关系）
定义:A、B是集合，如果ACB且A≠B，则称B真包含A，或A真包含于B，也称A是B的真子集，记作A⊂B。
谓词公式定义：
A⊂B⇔(A⊆B∧A≠B)
性质只有传递性

1.3.特殊集合

全集E
由于论域内任何客体x都属于E，所以x∈E为永真式。

性质：对于任何集合A，都有A⊆E

空集∅
因为论域内任何客体x∈∅是矛盾式，所以要用一个矛盾式定义∅。
空集是唯一的
(1)因为∀x(x∈∅-→x∈A)为永真式，所以∅⊆A，即对于任意集合A，都有∅⊆A。

1.4.集合的运算

1.4.1.交运算

A∩B

集合交运算的谓词公式定义
A∩B⇔(x∈A∧x∈B)
如果A∩B=∅，则AB不相交
性质有幂等律、交换律和结合律

1.4.2.并运算

A∪B
性质：幂等律、交换律、结合律、同一律、零率、分配律


吸收律

1.4.3.差运算

由属于A不属于B的元素构成的集合，称之为A与B的差集，或者B对A的相对补集。记作A-B


性质：

1.4.4.绝对补集

由不属于A的元素构成的集合，记作~A

性质：

1.4.5.对称差

由属于A不属于B或者属于B不属于A的元素构成的集合，称之为A与B的对称差

1.4.6.求幂集

A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。记作P(A)

性质

1.5.包含排斥定理

1.5.1.文氏图法

Step1:根据已知条件构建文氏图;
Step2:填充已知区域的元素数，未知区域用变量来表示;
Step3:对未知变量列方程组，求解;

1.5.2.容斥定理