BJ模拟计数【组合数学】

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组合数学

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本文介绍了一种解决特定排列组合问题的方法，通过定义状态转移方程来计算不同字符构成的有效序列数量，适用于n1个A，n2个B，n3个C，n4个D字符的场景。

题目大意：

问n1个A，n2个B，n3个C，n4个D可以组成多少种排列，使得相邻字母不同。
n1,n2,n3,n4<=1000;

解题思路：

设 $f_i$ 表示A,B组成i段合法序列的方案数， $g_i$ 表示C,D组成i段合法序列的方案数（每段有顺序关系），则 $ans=\sum_{i=0}^{n1+n2}f_i(g_{i-1}+2g_i+g_{i+1})$ 。

如何计算 $f_{x}$ ( $g_x$ 同理)？
注意只有四种合法串：
1.ABAB……ABA
2.BABA……BAB
3.ABAB……AB
4.BABA……BA
我们枚举第一种串的个数 $i$ ，则可以确定第二种串的个数 $j=i-(n1-n2)$ ，3,4种本质相同，总个数 $k=x-i-j$ ，所以只需乘以 $2^k$ ，由于要求所有段非空，所以先分别在四类串中插一个A,B,AB,BA，剩下 $n1-i-k$ 对AB则可以随意插入 $x$ 段中，所以得到dp方程：
$f_x=\binom{x}{i}\binom{x-i}{j} 2^k \binom{n1-i-k+x-1}{x-1}$
注意n1,n2为0时要特判。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2005,mod=1e9+7;
int n1,n2,n3,n4;
ll ans,f[N],g[N],bin[N],c[N][N];
void pre()
{
    bin[0]=c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)bin[i]=bin[i-1]*2%mod,c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
}
int calc(int n,int m,int cnt)
{
    if(!cnt)return n==0&&m==0;
    if(n<m)swap(n,m);
    ll res=0;
    for(int i=n-m;i<=cnt&&i<=n;i++)
    {
        int j=i-(n-m),k=cnt-i-j;
        if(j<0||k<0||i+j>cnt||i+k>n||j+k>m)continue;
        res=(res+c[cnt][i]*c[cnt-i][j]%mod*bin[k]%mod*c[n-i-k+cnt-1][cnt-1]%mod)%mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    pre();
    scanf("%d%d%d%d",&n1,&n2,&n3,&n4);
    if(!n1&&!n2&&!n3&&!n4){puts("1");return 0;}
    for(int i=0;i<=n1+n2;i++)f[i+1]=calc(n1,n2,i);
    for(int i=0;i<=n3+n4;i++)g[i+1]=calc(n3,n4,i);
    for(int i=1;i<=n1+n2+1;i++)
        ans=(ans+f[i]*(g[i-1]+2*g[i]+g[i+1]))%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}