bzoj3196 二逼平衡树【线段树套Splay】

最新推荐文章于 2019-01-22 10:38:00 发布

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本文介绍了一种结合二分查找与Splay树的数据结构解决方案，用于处理动态平衡树上的五种操作：查找小于某值的元素数量、查找第k小的元素、更新指定区间内的元素值、寻找某值的前驱、寻找某值的后继。通过构建线段树套Splay树的方式，有效地实现了这些操作，并给出了详细的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

解题思路：

其实线段树套线段树就可做，所以叫二逼平衡树。
不过还没写过线段树套Splay，所以练一下也是好的。
首先我们把平衡树中相同的值放在一个节点里，记个cnt，方便操作。

操作1：只用去线段树上logn颗平衡树上找比k小的个数即可，最后记得加一。

操作2：二分答案，再用操作一去检验，这就是线段树套Splay二逼之处，要 $O(log^3n)$ ，要是线段树套线段树就不用二分答案了。

操作3：去线段树上logn颗平衡树删除一个值为k的节点，再插入y即可。如果该节点cnt>1就只用把它旋到根节点，cnt和size减一；但cnt=1时必须删除，不然会影响找前后缀的操作（亲身经历）。

操作4：去线段树上logn颗平衡树找k的前缀，最后取max即可。

操作5：去线段树上logn颗平衡树找k的后缀，最后取min即可。

除了操作2，其余操作一次都是 $O(log^2n)$ 的。

详见代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=50005,M=2000005,INF=1e8;
int n,m,ans,a[N];
int tot,rt[N<<2],son[M][2],val[M],fa[M],cnt[M],size[M]; 

int which(int x)
{
    return son[fa[x]][1]==x;
}

void Rotate(int k,int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],t=which(x);
    if(y==rt[k])rt[k]=x;
    else son[z][which(y)]=x;
    fa[y]=x,fa[x]=z;
    son[y][t]=son[x][t^1],son[x][t^1]=y;
    if(son[y][t])fa[son[y][t]]=y;
    size[x]=size[y],size[y]=size[son[y][0]]+size[son[y][1]]+cnt[y];
}

void Splay(int k,int x,int f)
{
    while(fa[x]!=f)
    {
        if(fa[fa[x]]!=f)
            which(x)==which(fa[x])?Rotate(k,fa[x]):Rotate(k,x);
        Rotate(k,x);
    }
}

void Insert(int &u,int num,int f)
{
    if(!u)
    {
        u=++tot;
        val[u]=num,fa[u]=f,size[u]=1,cnt[u]=1;
        return;
    }
    if(num==val[u])cnt[u]++;
    else if(num<val[u])Insert(son[u][0],num,u);
    else Insert(son[u][1],num,u);
    size[u]=size[son[u][0]]+size[son[u][1]]+cnt[u];
}

void Delete(int k,int u,int num)
{
    while(val[u]!=num)
        if(num<val[u])u=son[u][0];
        else u=son[u][1];
    Splay(k,u,0);
    cnt[u]--,size[u]--;
    if(!cnt[u])
    {
        if(!son[u][1])
        {
            rt[k]=son[u][0],fa[son[u][0]]=0;
            return;
        }
        int v=son[u][1];
        while(son[v][0])v=son[v][0];
        Splay(k,v,u);
        rt[k]=v,fa[v]=0;
        son[v][0]=son[u][0],fa[son[u][0]]=v;
        size[v]=size[son[v][0]]+size[son[v][1]]+cnt[v];
    }
}

void build(int k,int l,int r,int p,int num)
{
    Insert(rt[k],num,0);
    if(l==r)return;
    int mid=l+r>>1;
    if(p<=mid)build(k<<1,l,mid,p,num);
    else build(k<<1|1,mid+1,r,p,num);
}

void get_rank(int u,int num)
{
    if(!u)return;
    if(num==val[u]){ans+=size[son[u][0]];return;}
    if(num<val[u])get_rank(son[u][0],num);
    else ans+=size[son[u][0]]+cnt[u],get_rank(son[u][1],num);
}

void query_rank(int k,int l,int r,int x,int y,int num)
{
    if(x==l&&y==r)
    {
        get_rank(rt[k],num);
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(y<=mid)query_rank(k<<1,l,mid,x,y,num);
    else if(x>mid)query_rank(k<<1|1,mid+1,r,x,y,num);
    else 
    {
        query_rank(k<<1,l,mid,x,mid,num);
        query_rank(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,num);
    }
}

void find(int x,int y,int num)
{
    int l=0,r=INF,res;
    while(l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        ans=1;query_rank(1,1,n,x,y,mid);
        if(ans<=num)l=mid+1,res=mid;
        else r=mid-1;
    }
    cout<<res<<'\n';
}

void modify(int k,int l,int r,int p,int v)
{
    Delete(k,rt[k],a[p]);
    Insert(rt[k],v,0);
    if(l==r)return;
    int mid=l+r>>1;
    if(p<=mid)modify(k<<1,l,mid,p,v);
    else modify(k<<1|1,mid+1,r,p,v);
}

void get_pre(int u,int num)
{
    if(!u)return;
    if(val[u]<num)
    {
        ans=max(ans,val[u]);
        get_pre(son[u][1],num);
    }
    else get_pre(son[u][0],num);
}

void get_suf(int u,int num)
{
    if(!u)return;
    if(val[u]>num)
    {
        ans=min(ans,val[u]);
        get_suf(son[u][0],num);
    }
    else get_suf(son[u][1],num);
}

void find_pre(int k,int l,int r,int x,int y,int num)
{
    if(x==l&&y==r)
    {
        get_pre(rt[k],num);
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(y<=mid)find_pre(k<<1,l,mid,x,y,num);
    else if(x>mid)find_pre(k<<1|1,mid+1,r,x,y,num);
    else 
    {
        find_pre(k<<1,l,mid,x,mid,num);
        find_pre(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,num);
    }
}

void find_suf(int k,int l,int r,int x,int y,int num)
{
    if(x==l&&y==r)
    {
        get_suf(rt[k],num);
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(y<=mid)find_suf(k<<1,l,mid,x,y,num);
    else if(x>mid)find_suf(k<<1|1,mid+1,r,x,y,num);
    else 
    {
        find_suf(k<<1,l,mid,x,mid,num);
        find_suf(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,num);
    }
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    //freopen("lx.out","w",stdout);
    n=getint(),m=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=getint(),build(1,1,n,i,a[i]);
    int op,x,y,num;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        op=getint(),x=getint(),y=getint();
        if(op==1)
        {
            num=getint(),ans=1;
            query_rank(1,1,n,x,y,num);
            cout<<ans<<'\n';
            continue;
        }
        if(op==2)
        {
            num=getint();
            find(x,y,num);
            continue;
        }
        if(op==3)
        {
            modify(1,1,n,x,y);a[x]=y;
            continue;
        }
        if(op==4)
        {
            num=getint(),ans=0;
            find_pre(1,1,n,x,y,num);
            cout<<ans<<'\n';
            continue;
        }
        if(op==5)
        {
            num=getint(),ans=INF;
            find_suf(1,1,n,x,y,num);
            cout<<ans<<'\n';
            continue;
        }
    }
    return 0;
}