【洛谷P4719】动态DP（全局平衡二叉树）

最新推荐文章于 2025-07-11 17:05:45 发布

CaptainHarryChen

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分类专栏： OI题解动态规划(DP) 数据结构文章标签： DP 洛谷算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/can919/article/details/88757565

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本文介绍了一种基于树链剖分的动态规划优化方法，用于解决带有点权修改操作的最大权独立集问题。通过使用全局平衡二叉树来替代传统的线段树，实现了高效的单点修改，并保持了较低的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定一棵n个点的树，点带点权。
有m次操作，每次操作给定x,y，表示修改点x的权值为y。
你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小。

题解

如果不带修改操作，正常的DP式：
$d p [u] [1]$ 表示当前结点保证选择，这个结点的子树独立集最大权值。
$d p [u] [0]$ 表示当前结点不选择，这个结点的子树独立集最大权值。

设u的儿子结点为v
$dp[u][0]=∑vmax(dp[v][0],dp[v][1])dp[u][0]=\sum\limits_vmax(dp[v][0],dp[v][1])$
$dp[u][1]=V[u]+∑vdp[v][0]dp[u][1]=V[u]+\sum\limits_vdp[v][0]$

对这棵树进行树链剖分，设置轻儿子和重链等信息
将dp修改一下，设ldp[u][0/1]表示只更新轻儿子的情况
$ldp[u][0]=∑vmax(dp[v][0],dp[v][1])ldp[u][0]=\sum\limits_vmax(dp[v][0],dp[v][1])$
$ldp[u][1]=V[u]+∑vdp[v][0]ldp[u][1]=V[u]+\sum\limits_vdp[v][0]$
将一条重链用一个序列表示，dp[i][0/1]表示序列第i个的dp值，则
$d p [i] [0] = l d p [i] [0] + m a x (d p [i + 1] [0], d p [i + 1] [1])$
$d p [i] [1] = l d p [i] [1] + d p [i + 1] [0]$
于是对于一条重链上的dp，就可以使用矩阵乘法。
$\left[ \begin{matrix} dp[i][0]\\dp[i][1] \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} ldp[i][0]&ldp[i][0]\\ ldp[i][1]&-INF \end{matrix} \right]\times \left[ \begin{matrix} dp[i+1][0]\\dp[i+1][1] \end{matrix} \right]$
矩阵乘法满足结合律，可以用线段树维护重链上区间的矩阵乘法的积。
修改及正常的单点修改。

但这里有更快的方法——全局平衡二叉树。

类似于LCT，LCT的复杂度为 $O (n l o g n)$ ，但它实际上也类似树链剖分，分为很多重链，重链上使用 $O (l o g n)$ 的数据结构。但是经过玄学的势能分析，LCT总深度期望为 $l o g n$ 。
全局平衡二叉树也是类似的思想，对树链剖分后的重链，不用线段树，用二叉搜索树，利用一些巧妙的建树方法，使得每个重链的二叉搜索树连起来后，总深度期望 $l o g n$ 。
对于一条重链，设每个结点的权值为它的轻儿子子树大小之和+1，然后找到这条重链的带权重心（即重心两边的树大小尽量接近），以这个重心为根，递归的往重心左边的重链，重心右边的重链建二叉搜索树。

每一个结点，维护它的二叉搜索树子树的矩阵乘积，修改操作即从被修改的结点，一路往上更新即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=100005,INF=0x3F3F3F3F;

struct Edge
{
    int v;
    Edge *nxt;
};
struct Graph
{
    Edge *adj[MAXN],edges[MAXN*2],*ed_it;
    Graph(){ed_it=edges;}
    void AddEdge(int u,int v)
    {
        ed_it->v=v;
        ed_it->nxt=adj[u];
        adj[u]=ed_it++;
    }
};

struct Matrix
{
    int A[2][2];
    Matrix()
    {A[0][0]=A[0][1]=A[1][0]=A[1][1]=-INF;}
    int* operator [] (int i)
    {return A[i];}
    const int * operator [] (int i)const
    {return A[i];}
    void unit()
    {A[0][0]=A[1][1]=0;A[0][1]=A[1][0]=-INF;}
    Matrix operator * (const Matrix &B)const
    {
        Matrix res;
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                for(int k=0;k<2;k++)
                    res[i][j]=max(res[i][j],A[i][k]+B[k][j]);
        return res;
    }
    int dp(int i)
    {return max(A[i][0],A[i][1]);}
};

struct Node
{
    Matrix dp,pro;
    Node *son[2],*fa;
    bool isRoot()
    {return fa==NULL||(fa->son[0]!=this&&fa->son[1]!=this);}
    void SetChild(Node *v,int d)
    {
        son[d]=v;
        v->fa=this;
    }
};

int n,m,V[MAXN];
int siz[MAXN],hv[MAXN],fa[MAXN];
Graph G;

void dfs(int u)
{
    siz[u]=1;
    int mx=0;
    for(Edge *e=G.adj[u];e;e=e->nxt)
    {
        int v=e->v;
        if(v!=fa[u])
        {
            fa[v]=u;
            dfs(v);
            siz[u]+=siz[v];
            if(siz[v]>mx)
                mx=siz[v],hv[u]=v;
        }
    }
}

namespace BST
{
    Node nd[MAXN],*root;
    int ID(Node *u){return u-nd;}
    void HPushUp(Node *u)
    {
        u->pro.unit();
        if(u->son[0])
            u->pro=u->pro*u->son[0]->pro;
        u->pro=u->pro*u->dp;
        if(u->son[1])
            u->pro=u->pro*u->son[1]->pro;
    }
    void LPushUp(Node *u,Node *v)
    {
        u->dp[0][0]+=max(v->pro.dp(0),v->pro.dp(1));
        u->dp[1][0]+=v->pro.dp(0);
        u->dp[0][1]=u->dp[0][0];
    }
    int sum[MAXN],stk[MAXN],tp;
    Node *heavyBuild(int L,int R)
    {
        Node *res;
        int mn=sum[R]-sum[L];
        int mid=L;
        for(int i=L;i<=R;i++)
            if(mn>max(sum[i-1]-sum[L-1],sum[R]-sum[i]))
                mn=max(sum[i-1]-sum[L-1],sum[R]-sum[i]),mid=i;
        res=&nd[stk[mid]];
        if(mid>L)
            res->SetChild(heavyBuild(L,mid-1),0);
        if(mid<R)
            res->SetChild(heavyBuild(mid+1,R),1);
        HPushUp(res);
        return res;
    }
    Node *Build(int u)
    {
        for(int x=u;x;x=hv[x])
        {
            nd[x].dp[0][0]=nd[x].dp[0][1]=0;
            nd[x].dp[1][0]=V[x];nd[x].dp[1][1]=-INF;
            for(Edge *e=G.adj[x];e;e=e->nxt)
                if(e->v!=fa[x]&&e->v!=hv[x])
                {
                    Node *v=Build(e->v);
                    v->fa=&nd[x];
                    LPushUp(&nd[x],v);
                }
        }
        tp=0;
        for(int x=u;x;x=hv[x])
        {
            stk[++tp]=x;
            sum[tp]=sum[tp-1]+siz[x]-siz[hv[x]];
        }
        return heavyBuild(1,tp);
    }
    void Modify(int x,int y)
    {
        Node *u=&nd[x];
        u->dp[1][0]+=y-V[x];
        V[x]=y;
        while(u)
        {
            if(u->isRoot()&&u->fa!=NULL)
            {
                Node *v=u->fa;
                v->dp[0][0]-=max(u->pro.dp(0),u->pro.dp(1));
                v->dp[1][0]-=u->pro.dp(0);
                HPushUp(u);
                v->dp[0][0]+=max(u->pro.dp(0),u->pro.dp(1));
                v->dp[1][0]+=u->pro.dp(0);
                v->dp[0][1]=v->dp[0][0];
            }
            else
                HPushUp(u);
            u=u->fa;
        }
    }
    int Ans()
    {return max(root->pro.dp(0),root->pro.dp(1));}
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&V[i]);
    for(int i=1,u,v;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        G.AddEdge(u,v);
        G.AddEdge(v,u);
    }
    dfs(1);
    BST::root=BST::Build(1);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        BST::Modify(x,y);
        printf("%d\n",BST::Ans());
    }

    return 0;
}