欧拉定理及扩展（附证明）

最新推荐文章于 2025-06-21 20:20:09 发布

CaptainHarryChen

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分类专栏： OI知识总结计算机数学文章标签：欧拉定理扩展欧拉定理费马小定理数论

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本文详细介绍了欧拉定理及其扩展版本，包括定理的证明过程，并探讨了其在解决指数运算中的实际应用。此外，还给出了几个具体的算法题目实例。

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若 $(a, m) = 1$ ，则满足 $m)a^{\varphi (m)} \equiv 1\ (mod \ m)$

证明

$\begin{array}{ll} 设与m互质的数为b_1,b_2,b_3,...,b_{\varphi (m)}\\\\ \because (a,m)=1\\\\ \therefore ab_1,ab_2,ab_3,...,ab_{\varphi (m)} 都与m互质，且每个数均不相同\\\\ \therefore\{b_1,b_2,b_3,...,b_{\varphi (m)}\}中，每一个数一定与\{ab_1,ab_2,ab_3,...,ab_{\varphi (m)}\}中的一个数同余，且一一对应。\\\\ \therefore a^{\varphi (m)}\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi (m)}ab_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i \ (mod\ m)\\\\ \therefore m \mid a^{\varphi (m)}\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i-\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i\\\\ 即m \mid (a^{\varphi (m)}-1)\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i\\\\ 又\because (m,\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i)=1\\\\ \therefore m \mid a^{\varphi (m)}-1\\\\ 即a^{\varphi (m)} \equiv 1\ (mod \ m) \end{array}$

费马小定理

当 $p$ 为质数，则 $p)a^{p-1} \equiv 1\ (mod\ p)$
因为 $p$ 为质数时， $φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1$

扩展欧拉定理

扩展到不要求互质

当 $(a, m) = 1$ 时，
$m)a^c \equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)}\ (mod\ m)$
证明略

当 $(a,m)̸=1且c<φ(m)(a,m)\not= 1且c<\varphi(m)$ 时，
$m)a^c\equiv a^c\ (mod\ m)$
无需证明

当 $(a,m)̸=1且c≥φ(m)(a,m)\not= 1且c\geq \varphi(m)$ 时，
$m)a^c\equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}\ (mod\ m)$

证明

$\begin{array}{ll} 取a的质因子p，令m=s\times p^r，且(s,p)=1\\\\ p^{\varphi(s)}\equiv 1\ (mod\ s)\\\\ \because s不含因子p\\\\ \therefore \varphi(s)\mid \varphi(m)\\\\ \therefore p^{\varphi(m)}\equiv 1\ (mod\ s)\\\\ \Longrightarrow p^{k \varphi(m)}\equiv 1\ (mod\ s)\\\\ \Longrightarrow p^{k \varphi(m)+r}\equiv p^r\ (mod\ s\times p^r)\\\\ \Longrightarrow p^{k\varphi(m)+r+c}\equiv p^{r+c}\ (mod\ m)\\\\ \because k,c为任意非负整数\\\\ \therefore 上式可表述为：若整数c\geq r ,则p^c\equiv p^{k\varphi(m)+c}\ (mod\ m)\\\\ 设a中含有p因子p^k，c\geq \varphi(m)\geq r\\\\ {(p^k)}^c\equiv p^{kc}\equiv p^{k\varphi(m)+kc}\equiv {(p^k)}^{\varphi(m)+c}\equiv (p^k)^{t\varphi(m)+c}\ (mod\ m)\ (t为任意正整数)\\\\ \Longrightarrow {(p^k)}^c\equiv {(p^k)}^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}\ \ (加\varphi(m)为了保证最后的指数\geq \varphi(m) )\\\\ a的每个质因子都满足上式\\\\ 同余式可相乘，乘起来即为a^c\equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}\ (mod\ m) \end{array}$