欧拉定理及扩展（附证明）

若$(a,m)=1$，则满足$$a^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$$

证明

设与m互质的数为b1,b2,b3,...,bφ(m)∵(a,m)=1∴ab1,ab2,ab3,...,abφ(m)都与m互质，且每个数均不相同∴{b1,b2,b3,...,bφ(m)}中，每一个数一定与{ab1,ab2,ab3,...,abφ(m)}中的一个数同余，且一一对应。∴aφ(m)∏i=1φ(m)bi≡∏i=1φ(m)abi≡∏i=1φ(m)bi (mod m)∴m∣aφ(m)∏i=1φ(m)bi−∏i=1φ(m)bi即m∣(aφ(m)−1)∏i=1φ(m)bi又∵(m,∏i=1φ(m)bi)=1∴m∣aφ(m)−1即aφ(m)≡1 (mod m) \begin{array}{ll} 设与m互质的数为b_1,b_2,b_3,...,b_{\varphi (m)}\\\\ \because (a,m)=1\\\\ \therefore ab_1,ab_2,ab_3,...,ab_{\varphi (m)} 都与m互质，且每个数均不相同\\\\ \therefore\{b_1,b_2,b_3,...,b_{\varphi (m)}\}中，每一个数一定与\{ab_1,ab_2,ab_3,...,ab_{\varphi (m)}\}中的一个数同余，且一一对应。\\\\ \therefore a^{\varphi (m)}\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi (m)}ab_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i \ (mod\ m)\\\\ \therefore m \mid a^{\varphi (m)}\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i-\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i\\\\ 即m \mid (a^{\varphi (m)}-1)\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i\\\\ 又\because (m,\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i)=1\\\\ \therefore m \mid a^{\varphi (m)}-1\\\\ 即a^{\varphi (m)} \equiv 1\ (mod \ m) \end{array} 设与m互质的数为b1​,b2​,b3​,...,bφ(m)​∵(a,m)=1∴ab1​,ab2​,ab3​,...,abφ(m)​都与m互质，且每个数均不相同∴{b1​,b2​,b3​,...,bφ(m)​}中，每一个数一定与{ab1​,ab2​,ab3​,...,abφ(m)​}中的一个数同余，且一一对应。∴aφ(m)∏i=1φ(m)​bi​≡∏i=1φ(m)​abi​≡∏i=1φ(m)​bi​ (mod m)∴m∣aφ(m)∏i=1φ(m)​bi​−∏i=1φ(m)​bi​即m∣(aφ(m)−1)∏i=1φ(m)​bi​又∵(m,∏i=1φ(m)​bi​)=1∴m∣aφ(m)−1即aφ(m)≡1 (mod m)​

费马小定理

当$p$为质数，则$$a^{p-1}\equiv 1(modp)$$
因为$p$为质数时，$\phi (p)=p-1$

扩展欧拉定理

扩展到不要求互质

当$(a,m)=1$时，
$$a^c\equiv a^{cmod\phi (m)}(modm)$$
证明略

当$(a,m)̸=1且c<\phi (m)$时，
$$a^c\equiv a^c(modm)$$
无需证明

当$(a,m)̸=1且c\ge \phi (m)$时，
$$a^c\equiv a^{cmod\phi (m)+\phi (m)}(modm)$$

证明

$$\begin{array}{l}取a的质因子p，令m=s\times p^r，且(s,p)=1\\ \\ p^{\phi (s)}\equiv 1(mods)\\ \\ \because s不含因子p\\ \\ \therefore \phi (s)\mid \phi (m)\\ \\ \therefore p^{\phi (m)}\equiv 1(mods)\\ \\ ⟹p^{k\phi (m)}\equiv 1(mods)\\ \\ ⟹p^{k\phi (m)+r}\equiv p^r(mods\times p^r)\\ \\ ⟹p^{k\phi (m)+r+c}\equiv p^{r+c}(modm)\\ \\ \because k,c为任意非负整数\\ \\ \therefore 上式可表述为：若整数c\ge r,则p^c\equiv p^{k\phi (m)+c}(modm)\\ \\ 设a中含有p因子p^k，c\ge \phi (m)\ge r\\ \\ {(p^k)}^c\equiv p^{kc}\equiv p^{k\phi (m)+kc}\equiv {(p^k)}^{\phi (m)+c}\equiv (p^k{)}^{t\phi (m)+c}(modm)(t为任意正整数)\\ \\ ⟹{(p^k)}^c\equiv {(p^k)}^{cmod\phi (m)+\phi (m)}(加\phi (m)为了保证最后的指数\ge \phi (m))\\ \\ a的每个质因子都满足上式\\ \\ 同余式可相乘，乘起来即为a^c\equiv a^{cmod\phi (m)+\phi (m)}(modm)\end{array}$$

用途

再也不用担心指数爆炸了！！指数也可以取模了

题目

BZOJ3884（推公式）
BZOJ4869（+线段树）