[数论小定理]扩展欧拉定理及其证明

最新推荐文章于 2025-04-11 21:31:08 发布

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本文探讨了模意义下的指数运算问题，介绍了扩展欧拉定理及其应用。该定理适用于底数与模数不互素的情况，并通过分解素因子的方法简化计算过程。

前言

对于模意义下的指数运算 $a^n\ mod\ m$ ，欧拉定理为我们提供了一个很好的等式 $(a,m)=1 => a^{\varphi(m)} \equiv 1 (mod\ m)$ 利用此等式我们可以很好的解决对于 $n$ 特别大情况如 $10^{200000}$ 。

若前提的互素条件不一定成立时，则这个等式不能达到需求，而扩展欧拉定理通过对 $(a,m) \neq 1$ 时两者素因子的分析，也可以让运算下降到 $O(m)$ 的级别

定理内容

$a^{n} \equiv \left\{ \begin{array}{lr} a^{n} & n<\varphi(m)\\ a^{n \% \varphi (m) +\varphi(m)} & n\geq \varphi(m) \end{array} \right. (mod\ m)$

证明

1.若 $(a,m)=1$ 结论即为普通的欧拉定理

2.若 $(a,m)>1$ ，考察 $a,m$ 的一个相同素因子 $p$ ,其中 $m=p^\alpha m_1$ 且 $m_1$ 无素因子 $p$

$m | p^{\beta} (p^{\varphi(m_1)}-1) |p^{\beta} (p^{\varphi(m)}-1) \ =>p^{\beta+\varphi(m)} \equiv p^{\beta} (mod\ m)$

对于每个 $a$ 的素因子都进行这种操作，若 $(p,m)=1$ 直接利用欧拉定理

若 $n\geq \varphi(m)$ 将所有 $a$ 的素因子作用一次后取乘积即可得到 $a^{n} \equiv a^{n \% \varphi (m) +\varphi(m)} (mod\ m)$

ps:可以看出上述的证明2部分中界不是最优的，但考虑实际计算时可以让指数化解到 $O(m)$ 级别通过快速幂即可快速计算

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