动态规划（DP）——斜率优化

形式

形如

$$dp[i]=max(dp[j]-a[i]\times b[j]+c[j])+d[i]$$ 的dp方程
（$a[x],b[x],c[x],d[x]$为一些与x有关的式子）
（需保证b[x]满足单调性）
如果是min，则后面的过程反过来，自己理解去。

思路

为了$O(1)$选出最优的j，假设$dp[j]$优于$dp[k]$，且$b[j]>b[k]$
即，

$$dp[j]-a[i]\times b[j]+c[j]>dp[k]-a[i]\times b[k]+c[k]$$
变成 $$\frac {(dp[j]+c[j])-(dp[k]+c[k])} {b[j]-b[k]}>a[i]$$
所以要求$\frac {(dp[j]+c[j])-(dp[k]+c[k])} {b[j]-b[k]}$ 斜率越大越好，用单调队列维护
把上面那个$b[j]$当做横坐标，$(dp[j]+c[j])$当做纵坐标。
维护的单调队列要使斜率要递减（保证前面的更大），画成图像就成了一个上凸包：

实现

对于一个新的$i$，保证$b[i]$最大，队列的左边为$head$，判断head与head+1的斜率，如果head+1更优，即

$$\frac {(dp[head+1]+c[head+1])-(dp[head]+c[head])} {b[head+1]-b[head]}>a[i]$$
那么就head++;
所以$dp[i]$就从head位置转移过来。
接下来把$dp[i]$添加进单调队列，把队尾tail斜率比i小的全部弹出去，即
$$\frac {(dp[i]+c[i])-(dp[tail]+c[tail])} {b[i]-b[tail]}>\frac {(dp[tail]+c[tail])-(dp[tail-1]+c[tail-1])} {b[tail]-b[tail-1]}$$
那么就tail--;
最后把i放进tail里。