学习笔记——斜率优化 dp

引入

斜率优化，是单调队列优化的一个进阶版本，为了更好地理解，先来回顾一下单调队列吧~

所谓单调队列优化，就是对于形如：
d p i = max ⁡ { d p j + a j } dp_i=\max\{dp_j+a_j\} dpi​=max{ dpj​+aj​}
的 $dp$ 式，我们把所有的 $d{p}_j+a_j$ 放进单调队列里，实现 $O(1)$ 的转移。

这个时候，只有在式子中，每一项只有关于 $j$ 或者只有关于 $i$ 的。但是如果有这样一个式子：
d p i = max ⁡ { d p j + a j × a i } dp_i=\max\{dp_j+a_j\times a_i\} dpi​=max{ dpj​+aj​×ai​}
这时候，我们就不能只考虑 $a_j$，因为对于每个 $i$，其大小都是不同的。

流程

我们先来看一道例题：[HNOI2008]玩具装箱

我们很容易得到原始的 $dp$ 式子，$c_i$ 是前缀和：
d p i = d p j + ( c i + i − c j − j − 1 − L ) 2 dp_i=dp_j+(c_i+i-c_j-j-1-L)^2