MATLAB实用教程系列——数值运算完全自学：摩尔-彭罗斯伪逆（pinv）

伪逆介绍

摩尔-彭罗斯伪逆是一种矩阵，可在不存在逆矩阵的情况下作为逆矩阵的部分替代。此矩阵常被用于求解没有唯一解或有许多解的线性方程组。

对于任何矩阵 A 来说，伪逆 B 都存在，是唯一的，并且具有与 A’ 相同的维度。如果 A 是方阵且非奇异，则 pinv(A) 只是一种成本比较高的计算 inv(A) 的方式。但是，如果 A 不是方阵，或者是方阵且奇异，则 inv(A) 不存在。在这些情况下，pinv(A) 拥有 inv(A) 的部分（但非全部）属性：

pinv 通过奇异值分解来形成 A 的伪逆。S 对角线上小于或等于 tol 的奇异值被视为零，而 A 的表示变成：

因此 A 的伪逆等于：

MATLAB代码验证

简单验证

pinv(ones(3,2))

严格验证

要验证 MATLAB 中的 pinv 函数（伪逆），首先创建一个矩阵，计算其伪逆，然后验证伪逆的性质。以下是一个示例 MATLAB 程序：

% 定义一个随机矩阵 A
A = rand(4, 3); % 4x3 矩阵

% 计算 A 的伪逆
A_pinv = pinv(A);

% 验证伪逆的性质
% 1. A * A_pinv * A = A
verify1 = A * A_pinv * A;

% 2. A_pinv * A * A_pinv = A_pinv
verify2 = A_pinv * A * A_pinv;

% 3. A * A_pinv 是投影矩阵
verify3 = A * A_pinv;

% 输出结果
disp('A * A_pinv * A:');
disp(verify1);

disp('A_pinv * A * A_pinv:');
disp(verify2);

disp('A * A_pinv:');
disp(verify3);

% 检查是否接近原矩阵（可以用 norm 计算误差）
tolerance = 1e-10;
if norm(A - verify1, 'fro') < tolerance
    disp('验证成功: A * A_pinv * A 接近 A');
else
    disp('验证失败: A * A_pinv * A 不接近 A');
end

if norm(A_pinv - verify2, 'fro') < tolerance
    disp('验证成功: A_pinv * A * A_pinv 接近 A_pinv');
else
    disp('验证失败: A_pinv * A * A_pinv 不接近 A_pinv');
end

程序说明

1. 矩阵定义：生成一个随机矩阵 A。
2. 计算伪逆：使用 pinv 函数计算矩阵 A 的伪逆。
3. 验证性质：
   • 检查 A * A_pinv * A 是否接近 A。
   • 检查 A_pinv * A * A_pinv 是否接近 A_pinv。
   • 检查 A * A_pinv 是否是一个投影矩阵。
4. 输出结果：显示验证结果并检查误差。