21、克罗内克积、向量算子与摩尔 - 彭罗斯逆的深入探究

克罗内克积、向量算子与摩尔 - 彭罗斯逆的深入探究

1. 矩阵特征值与正定性问题

1.1 矩阵 (B) 和 (C) 的特征值与正定性

考虑 (n^2 \times n^2) 矩阵 (B := I_n \otimes I_n - \alpha(\text{vec} I_n)(\text{vec} I_n)’) 和 (C := A \otimes A - \alpha(\text{vec} A)(\text{vec} A)’)，其中 (A > O) 是 (n \times n) 矩阵。
- 矩阵 (B) 的特征值 ：矩阵 ((\text{vec} I_n)(\text{vec} I_n)’) 是对称的且秩为 1，其特征值除一个等于 ((\text{vec} I_n)’(\text{vec} I_n) = n) 外，其余均为 0。所以，矩阵 (\alpha(\text{vec} I_n)(\text{vec} I_n)’) 的特征值为 (n\alpha)（1 次）和 0（(n^2 - 1) 次），进而 (B) 的特征值为 (1 - n\alpha)（1 次）和 1（(n^2 - 1) 次）。
- 矩阵 (B) 的行列式 ：(\vert B \vert = 1 - n\alpha)。
- 矩阵 (B) 的正定性 ：(B > O \Leftrightarrow \alpha < 1/n)，且 (B \geq O \Leftrightarrow \alpha \leq 1/n)。
- 矩阵 (C) 的正定性