21、克罗内克积、向量化算子与摩尔 - 彭罗斯逆的深入解析

克罗内克积、向量化算子与摩尔 - 彭罗斯逆的深入解析

1. 矩阵特征值与正定性分析

在矩阵分析中，我们常常会遇到一些特殊形式的矩阵，例如下面要讨论的矩阵 (B) 和 (C)。
设 (B := I_n \otimes I_n - \alpha(\text{vec} I_n)(\text{vec} I_n)’)，(C := A \otimes A - \alpha(\text{vec} A)(\text{vec} A)’)，其中 (A > O) 是 (n \times n) 阶矩阵。
- 矩阵 (B) 的特征值 ：
- 矩阵 ((\text{vec} I_n)(\text{vec} I_n)’) 是对称的且秩为 1，除了一个特征值等于 ((\text{vec} I_n)’(\text{vec} I_n) = n) 外，其余特征值都为 0。
- 那么矩阵 (\alpha(\text{vec} I_n)(\text{vec} I_n)’) 的特征值为 (n\alpha)（1 次）和 0（(n^2 - 1) 次），所以 (B) 的特征值为 (1 - n\alpha)（1 次）和 1（(n^2 - 1) 次）。
- 矩阵 (B) 的行列式 ：根据特征值与行列式的关系，(\vert B \vert = 1 - n\alpha)。
- 矩阵 (B) 的正定性 ：
- (B > O) 当且仅当 (\alpha < \frac{1}{n})，(B \geq O) 当且仅当 (\alpha \leq \frac{1}{n})。
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