23、向量函数与覆盖序列：密码学中的关键概念与构造方法

向量函数与覆盖序列：密码学中的关键概念与构造方法

1. 引言

在密码学领域，高弹性和高非线性的向量函数构造至关重要，它们是设计安全分组密码和流密码的基础。代数攻击和快速相关攻击等手段对传统密码系统构成威胁，因此需要新的密码学准则和函数构造方法。本文将探讨向量函数的相关性质、构造方法以及覆盖序列在攻击迭代分组密码中的应用。

2. 符号与预备知识

2.1 基本定义

• (n, m)-函数 ：从 (F_2^n) 到 (F_2^m) 的映射 (F)。当 (m = 1) 时，称为布尔函数，记 (B_n) 为 (F_2^n) 上所有布尔函数的集合。
• 支撑集 ：函数 (F) 的支撑集 (Supp F = {x \in F_2^n / F(x) \neq 0})。
• 平衡函数 ：若对于任意 (y \in F_2^m)，(F) 的原像个数都为 (2^{n - m})，则称 (F) 为平衡函数。
• 坐标函数 ：与 ((n, m))-函数 (F) 关联的 (m) 元布尔函数组 ((f_1, \cdots, f_m))，满足 (F(x) = (f_1(x), \cdots, f_m(x)))。
• 代数正规形式（A.N.F.） ：(F(x_1, \cdots, x_n) = \sum_{I \subseteq {1, \cdots, n}} a_I \prod_{i \in I} x_i)，其