4、信息安全与密码学前沿研究综述

信息安全与密码学前沿研究综述

在当今数字化时代，信息安全和密码学的重要性日益凸显。本文将深入探讨密码学领域的多个关键主题，包括可证明安全性、蓝牙组合器的相关性、防止数字现金双重花费以及块密码的扩散层优化等内容。

1. 传统密码学的可证明安全性

可证明安全性是密码学研究的核心目标之一，旨在为密码系统提供严格的理论保障。通过引入装饰理论，我们能够更系统地处理传统密码学中的多个结果，使证明过程更加简便。

1.1 定义与性质

在装饰理论中，我们定义了“d - 维分布矩阵”，用于描述随机函数的分布特性。对于随机函数 (F) 和 (G)，通过特定的矩阵范数（如 (||.|| 2)、(|||.||| {\infty})、(||.||_a)、(||.||_s)），可以计算它们之间的“d - 维装饰距离”和“d - 维装饰偏差”。这些距离和偏差与不同类型的攻击（如非自适应攻击、选择输入攻击、选择输入输出攻击）密切相关，能够有效衡量密码系统的安全性。

例如，对于随机函数 (F) 和 (G)，我们有以下重要性质：
- (|||[F] d - [G]_d||| {\infty} = 2 \cdot \text{BestAdv} {Cl_d^{na}}(F, G))
- (||[F]_d - [G]_d||_a = 2 \cdot \text{BestAdv} {Cl_d^{a}}(F, G))
- 当 (F) 和 (G) 为置换时，(||[F] d - [G]_d||_s = 2 \cdot \text{BestAdv} {Cl_d^{s}}(F, G))

这些性质使得我们可以通过计算装饰距离来评估密码系统在不同攻击下的优势，为密码系统的设计和分析提供了有力的工具。

1.2 密码原语设计的随机性

许多密码学研究致力于探究不同设计方案所提供的随机性程度。Luby - Rackoff 结果表明，具有真正随机轮的 Feistel 结构在一定条件下具有良好的安全性。具体而言，对于四个独立的均匀分布随机函数 (F_1^ , F_2^ , F_3^ , F_4^ )，有以下结论：
- (\text{Dec}_d^{||.||_a}(\Psi(F_1^ , F_2^ , F_3^ )) \leq 2d^2 \cdot 2^{-\frac{m}{2}})
- (\text{Dec}_d^{||.||_a}(\Psi(F_1^ , F_2^ , F_3^ )) \leq 2d^2 \cdot 2^{-\frac{m}{2}})
- (\text{Dec}_d^{||.||_s}(\Psi(F_1^ , F_2^ , F_3^ , F_4^ )) \leq 2d^2 \cdot 2^{-\frac{m}{2}})

这里，(\Psi(F_1, \cdots, F_r)) 表示 Feistel 方案，其中第 (i) 轮函数为 (F_i)。该结果为研究 Feistel 方案的装饰偏差提供了基础，也是 AES 候选算法 DFC 的设计依据之一。

此外，还有许多类似的结果和扩展。例如，Zheng - Matsumoto - Imai 研究了广义 Feistel 变换的伪随机性，提出了三种不同类型的变换（“type - 1 变换”、“type - 2 变换”、“type - 3 变换”），并给出了相应的装饰偏差上界。

变换类型	装饰偏差上界
(\text{Dec}_d^{
(\text{Dec}_d^{
(\text{Dec}_d^{

1.3 操作模式与类似构造

CBC - MAC 是一种常见的消息认证码构造方法，将块密码函数 (C) 转换为消息认证码 (MAC)。当使用均匀分布的随机函数 (F^*) 时，对于固定的整数 (\ell) 和任意的 (d)，有 (\text{Dec}_d^{||.||_a}(MAC) \leq d\ell(d\ell - 1)2^{-m})。

除了 CBC - MAC，还有其他相关的构造结果，如从固定输入长度（FIL）MAC 构造可变输入长度（VIL）MAC，从单块输入（SBI）MAC 构造 VIL - MAC，以及从 SBI - 加密构造 VIL - 加密等。这些构造方法的基本技术相似，都可以通过装饰理论进行分析和优化。

2. 蓝牙组合器的相关性

蓝牙流密码 E0 在蓝牙网络的点对点加密中起着重要作用。其结构是具有记忆的求和位生成器的改进版本，我们称之为蓝牙组合器。

2.1 相关性定理

为了分析蓝牙组合器的相关性，我们引入了一些基本的定义和定理。在有限域 (GF(2^n)) 中，定义了向量的内积和线性函数。对于布尔函数 (f) 和 (g)，其相关性 (c(f, g)) 可以通过计算满足 (f(x) = g(x)) 和 (f(x) \neq g(x)) 的 (x) 的数量来确定。

同时，我们还给出了两个重要的相关性定理：
- 定理 3：给定函数 (f: GF(2^n) \times GF(2^k) \to GF(2)) 和 (g: GF(2^m) \to GF(2^k))，设 (h(x, y) = f(x, g(y)))，则对于所有 (u \in GF(2^n))，(v \in GF(2^m))，有 (c_{x,y}(h(x, y), u \cdot x \oplus v \cdot y) = \sum_{w \in GF(2^k)} c_{x,z}(f(x, z), u \cdot x \oplus w \cdot z) c_{y}(w \cdot g(y), v \cdot y))。
- 定理 4：设 (f: GF(2^n) \times GF(2^k) \to GF(2)) 和 (g: GF(2^k) \times GF(2^m) \to GF(2)) 为布尔函数，则对于所有 (u \in GF(2^n))，(w \in GF(2^m))，有 (c_{x,y,z}(f(x, y) \oplus g(y, z), u \cdot x \oplus w \cdot z) = \sum_{v \in GF(2^k)} c_{x,y}(f(x, y), u \cdot x \oplus v \cdot y) c_{y,z}(g(y, z), v \cdot y \oplus w \cdot z))。

这些定理为分析蓝牙组合器中相关性的传播提供了有力的工具。

2.2 蓝牙组合器的分析

蓝牙组合器由四个总长度为 128 的线性反馈移位寄存器（LFSR）和一个非线性记忆更新函数 (f) 组成。输出密钥序列 (z_t) 由新鲜输入 (x_t) 和记忆更新 (c_0^t) 的异或和得到，即 (z_t = x_1^t \oplus x_2^t \oplus x_3^t \oplus x_4^t \oplus c_0^t)。

通过分析 (s_t) 和 (c_t) 的递归关系，我们可以得到蓝牙组合器的相关性特性。例如，通过计算不同 (u) 和 (v) 组合下的相关性 (c(w \cdot s_{t + 1}, u \cdot x_t \oplus v \cdot c_t))，我们可以发现一些强相关性关系。

其中，最强的相关性关系为 (c(z_t \oplus z_{t - 1} \oplus z_{t - 3}, \bigoplus_{i = 1}^{4} x_i^t \oplus \bigoplus_{i = 1}^{4} x_i^{t - 1} \oplus \bigoplus_{i = 1}^{4} x_i^{t - 3}) = -\frac{1}{16})。

2.3 改进建议

为了提高蓝牙组合器的相关性特性，我们可以对记忆更新函数中的线性映射 (T) 进行修改。通过选择合适的矩阵 (T_2)，可以增加建立连续进位位之间相关性关系所需的线性近似次数，从而降低相关性。

例如，当 (t_3^2 = 0) 时，至少需要三次近似轮才能建立相关性关系，而原始的蓝牙选择 (t_3^2 = 1) 只需要两次迭代近似。这表明通过合理选择 (T_2)，可以显著提高蓝牙组合器的安全性。

3. 防止双重花费硬币泄露用户全部秘密

在数字现金系统中，双重花费是一个严重的安全问题。大多数数字现金系统在双重花费发生时能够揭示用户身份，但这种能力可能被银行滥用，用于诬陷用户进行多次花费。

3.1 Brands 方案的特点

Brands 方案是一种高效的离线现金系统，具有用户匿名性和防止银行诬陷的功能。该方案包括系统设置、开户、取款协议、支付协议和存款协议等步骤。

在 Brands 方案中，用户的身份由 (I = g_1^{u_1}g_2) 表示，其中 (u_1) 是用户的秘密。在取款协议中，用户通过盲化和挑战 - 响应机制获得硬币 ((A, B, \text{Sign}(A, B)))。在支付协议中，用户向商店发送硬币，并通过计算响应 (r_1) 和 (r_2) 来证明硬币的有效性。

然而，当双重花费发生时，银行可以通过计算 (g_1^{\frac{r_1 - r_1’}{r_2 - r_2’}}) 找到双重花费者的身份，同时也知道了 (u_1)。这使得银行有可能利用 (u_1) 进行诬陷，例如制造伪造的交易记录。

3.2 改进方案

为了解决 Brands 方案中的问题，我们提出了一种改进的数字现金系统。该系统引入了第二个秘密 (u_2)，并使用正常的 3 - 步零知识交互证明（ZKIP）来证明 (u_2) 的知识。

系统设置与 Brands 方案类似，但调整了两个哈希函数 (H) 和 (H_0) 的定义域。开户时，用户除了拥有 (u_1) 外，还拥有 (u_2) 和相应的账户信息 (I_2 = g_1^{u_2})。

取款协议中，用户分别用 (s_1) 和 (s_2) 盲化与 (u_1) 和 (u_2) 相关的账户信息，最终获得硬币 ((A, B, C, \text{Sign}(A, B, C)))。

支付协议中，用户生成承诺 (D = g_1^{\text{deal}_1}g_2^{\text{deal}_2})，并向商店发送 ((A, B, C, D, \text{Sign}(A, B, C)))。商店计算挑战 (d)，用户计算响应 (r_1, r_2, r_3, r_4)。

存款协议中，银行检查硬币的有效性和双重花费情况。如果发现双重花费，银行可以通过计算 (I_1 = g_1^{\frac{r_1 - r_1’}{r_2 - r_2’}}) 找到用户身份，但由于 (u_2) 未被揭示，银行无法计算伪造的交易记录，从而保护了用户免受诬陷。

改进后的数字现金系统具有以下优点：
- 如果发生 (n(\geq 2)) 次花费，用户无法否认。
- 当用户仅进行双重花费时，银行无法诬陷用户进行 (n(> 2)) 次花费。
- 单次花费的硬币不会泄露用户身份。
- 双重花费检测后，无需重新开户。

4. 块密码扩散层的优化

块密码的扩散层在提供对差分和线性密码分析的免疫力方面起着关键作用。我们将分析 E2、CRYPTON 和 Rijndael 三种块密码的扩散层，以评估它们的实际安全性。

4.1 实际安全性背景

差分密码分析（DC）和线性密码分析（LC）是分析块密码的两种主要方法。DC 是一种选择明文攻击，攻击者选择具有特定差异的明文；LC 是一种已知明文攻击，对 DES 的攻击速度比 DC 更快。

为了评估块密码对 DC 和 LC 的安全性，我们考虑了四种不同的度量：精确度量、理论度量、启发式度量和实际度量。在本文中，我们主要关注实际度量，因为它在实际评估中具有可行性。

4.2 差分和线性活跃 S - 盒

在置换 - 置换网络（SPN）结构中，S - 盒的输出扩散对于抵抗各种攻击至关重要。我们定义了差分活跃 S - 盒（具有非零输入差异的 S - 盒）和线性活跃 S - 盒（具有非零输出掩码值的 S - 盒）。

通过计算 SDS 函数（由置换 - 扩散 - 置换三层组成）中差分和线性活跃 S - 盒的最小数量 (\beta_d(D)) 和 (\beta_l(D))，可以评估块密码的实际安全性。具体而言，SDS 函数的最大差分和线性概率 (p_{sds}) 和 (q_{sds}) 满足 (p_{sds} \leq p^{\beta_d(D)}) 和 (q_{sds} \leq q^{\beta_l(D)})，其中 (p) 和 (q) 分别是置换层中 S - 盒的最大差分和线性概率。

4.3 扩散层的矩阵表示

大多数现代块密码的扩散层是线性变换，可以用矩阵表示。通过矩阵表示，我们可以得到输入和输出差异（或掩码值）之间的关系。

例如，对于 SDS 函数的扩散层 (D)，其矩阵表示为 (M)，则输入和输出差异的关系为 (\Delta y = M\Delta x)，输出和输入掩码值的关系为 (a = M^t b)。

4.4 E2 的扩散层

E2 是一种 128 位块密码，采用 Feistel 网络和 2 - 轮 SPN 结构。其扩散层由位异或操作构成，用 8 × 8 矩阵 (P) 表示。

Kanda 等人提出了一种搜索算法，用于构造最优扩散层。通过理论证明，我们发现当 (P) 是 8 × 8 可逆矩阵时，(\beta_d(P), \beta_l(P) \leq 5)。并且，对于 E2 中使用的矩阵 (P)，(\beta_d(P) = \beta_l(P) = 5)，这表明该矩阵是最优的。

4.5 CRYPTON 的扩散层

CRYPTON 是一种 SPN 结构的块密码，其扩散层包括列位变换和列 - 行转置。列位变换 (\pi) 混合了 4 × 4 字节数组中每列的四个字节。

通过分析 (\pi_0) 的扩散效果，我们发现其分支数 (B(\pi_0) = 4)，并且 (\beta_d(\pi_0) = \beta_l(\pi_0) = B(\pi_0) = 4)。这表明 (\pi_0) 在仅使用位异或和与操作的线性变换中具有最优的扩散效果。

4.6 Rijndael 的扩散层

Rijndael 是一种块密码，其扩散层由行（或列）位变换和字节转置组成。位变换 (\theta) 可以用多项式乘法表示，其矩阵表示为 (C)。

通过分析，我们得到 (\beta_d(\theta) = \beta_l(\theta) = B(\theta) = 5)，这是最大的分支数。这表明 (\theta) 具有最佳的扩散效果，但由于在 (GF(2^8)) 中的乘法计算复杂，其计算效率相对较低。

4.7 扩散层的比较

密码算法	扩散层	操作	(\beta_d = \beta_l)	扩散效果
E2	(P: 8 \times 8) 矩阵（LT over (GF(2))）	异或	5	56%
CRYPTON	(\pi_0: GF(2)^{32} \to GF(2)^{32})（LT over (GF(2))）	异或、与	4	80%
Rijndael	(\theta: GF(2^8)^4 \to GF(2^8)^4)（LT over (GF(2^8))）	异或、(GF(2^8)) 乘法（移位、异或）	5	100%

从比较结果可以看出，Rijndael 的扩散层在扩散效果方面表现最佳，但计算效率相对较低；E2 的扩散层计算效率较高，但扩散效果相对较弱。这表明在设计块密码的扩散层时，需要在安全性和计算效率之间进行权衡。

综上所述，本文涵盖了传统密码学的可证明安全性、蓝牙组合器的相关性、数字现金系统的安全性以及块密码扩散层的优化等多个重要领域。通过对这些领域的深入研究，我们可以更好地理解和设计安全的密码系统，为信息安全提供更可靠的保障。同时，这些研究也为未来密码学的发展提供了有价值的参考和方向。

信息安全与密码学前沿研究综述

5. 技术点分析与总结

在前面的内容中，我们探讨了多个信息安全与密码学的关键领域，接下来对这些领域的技术点进行深入分析和总结。

5.1 可证明安全性技术点

• 装饰理论的应用 ：装饰理论为传统密码学的可证明安全性提供了有力工具。通过定义“d - 维分布矩阵”和“d - 维装饰距离”，我们能够系统地分析密码系统在不同攻击下的安全性。例如，在分析 Feistel 方案和各种操作模式构造时，装饰理论的乘法性质使得证明过程更加简便。
• 随机函数与置换的性质 ：随机函数和置换的相关性质在密码原语设计中起着关键作用。Luby - Rackoff 结果为 Feistel 方案的设计提供了理论基础，而其他类似结果的扩展进一步丰富了密码原语的设计方法。同时，不同类型的广义 Feistel 变换的伪随机性分析，为密码系统的设计提供了更多的选择。

5.2 蓝牙组合器技术点

• 相关性定理的作用 ：相关性定理是分析蓝牙组合器相关性的基础。通过定理 3 和定理 4，我们可以研究相关性在迭代结构和具有部分公共输入的函数组合中的传播。这有助于我们理解蓝牙组合器中不同变量之间的相关性关系，从而发现潜在的安全漏洞。
• 记忆更新函数的优化 ：蓝牙组合器的记忆更新函数中的线性映射 (T) 对其相关性特性有重要影响。通过合理选择 (T_2) 矩阵，可以增加建立相关性关系所需的近似次数，从而降低相关性，提高蓝牙组合器的安全性。

5.3 数字现金系统技术点

• Brands 方案的改进 ：Brands 方案虽然具有用户匿名性和防止银行诬陷的功能，但在双重花费时存在用户秘密泄露的问题。改进方案引入了第二个秘密 (u_2)，并使用 3 - 步零知识交互证明，有效解决了银行诬陷用户的问题，同时保持了数字现金系统的其他优点。
• 系统安全性的提升 ：改进后的数字现金系统在多个方面提升了安全性。例如，用户无法否认 (n(\geq 2)) 次花费，银行无法在用户仅双重花费时诬陷用户进行 (n(> 2)) 次花费，单次花费的硬币不会泄露用户身份，双重花费检测后无需重新开户等。

5.4 块密码扩散层技术点

• 实际度量的选择 ：在评估块密码对差分和线性密码分析的安全性时，实际度量具有可行性。通过计算 SDS 函数中差分和线性活跃 S - 盒的最小数量，我们可以评估块密码的实际安全性，为块密码的设计和优化提供依据。
• 不同块密码扩散层的特点 ：E2、CRYPTON 和 Rijndael 三种块密码的扩散层具有不同的特点。E2 的扩散层计算效率较高，但扩散效果相对较弱；CRYPTON 的扩散层在仅使用位异或和与操作的情况下具有较好的扩散效果；Rijndael 的扩散层扩散效果最佳，但计算效率相对较低。这表明在设计块密码的扩散层时，需要在安全性和计算效率之间进行权衡。

6. 未来研究展望

信息安全与密码学是一个不断发展的领域，未来还有许多研究方向值得探索。

6.1 可证明安全性的拓展

• 新的攻击模型研究 ：随着技术的发展，可能会出现新的攻击模型。未来的研究可以关注如何将装饰理论应用于新的攻击模型，进一步拓展可证明安全性的研究范围。
• 密码原语的创新设计 ：继续探索新的密码原语设计方法，结合装饰理论和其他技术，设计出更加安全和高效的密码系统。

6.2 蓝牙组合器的进一步优化

• 新的相关性分析方法 ：研究新的相关性分析方法，以更深入地理解蓝牙组合器的相关性特性。这可能包括引入新的数学工具或算法，提高分析的准确性和效率。
• 硬件实现的优化 ：考虑蓝牙组合器在硬件实现中的优化，以提高其安全性和性能。例如，通过改进硬件架构或算法实现，降低相关性并提高计算效率。

6.3 数字现金系统的完善

• 与新兴技术的结合 ：探索数字现金系统与新兴技术（如区块链、人工智能等）的结合，以提高数字现金系统的安全性和功能性。
• 隐私保护的增强 ：进一步研究如何增强数字现金系统的隐私保护功能，确保用户的身份和交易信息得到更好的保护。

6.4 块密码扩散层的创新

• 新的扩散层设计 ：研究新的扩散层设计方法，以提高块密码对差分和线性密码分析的免疫力。这可能包括引入新的数学结构或算法，设计出更加高效和安全的扩散层。
• 计算效率的提升 ：在保证安全性的前提下，探索提高块密码扩散层计算效率的方法。例如，通过优化算法实现或采用新的硬件技术，降低计算复杂度。

7. 总结

本文全面探讨了信息安全与密码学的多个关键领域，包括传统密码学的可证明安全性、蓝牙组合器的相关性、数字现金系统的安全性以及块密码扩散层的优化。通过对这些领域的深入研究，我们得到了以下重要结论：

• 装饰理论为传统密码学的可证明安全性提供了系统的分析方法，使得密码系统的证明过程更加简便。
• 蓝牙组合器的相关性可以通过相关性定理进行分析，合理选择记忆更新函数中的线性映射可以提高其安全性。
• 改进后的数字现金系统引入第二个秘密并使用零知识交互证明，有效解决了银行诬陷用户的问题，同时保持了系统的其他优点。
• 块密码的扩散层在提供对差分和线性密码分析的免疫力方面起着关键作用，不同块密码的扩散层在安全性和计算效率之间需要进行权衡。

未来，我们需要继续关注这些领域的发展，不断探索新的技术和方法，以应对日益复杂的信息安全挑战。通过持续的研究和创新，我们可以设计出更加安全、高效的密码系统，为信息安全提供更可靠的保障。

以下是一个 mermaid 格式的流程图，展示了数字现金系统的主要流程：

graph LR
    A[系统设置] --> B[开户]
    B --> C[取款协议]
    C --> D[支付协议]
    D --> E[存款协议]
    E --> F{是否双重花费}
    F -- 是 --> G[揭示用户身份]
    F -- 否 --> H[正常处理]

通过这个流程图，我们可以清晰地看到数字现金系统的主要操作流程以及双重花费检测的处理方式。

总之，信息安全与密码学的研究是一个长期而复杂的过程，需要我们不断努力和创新，以适应不断变化的安全需求。