25、向量函数与覆盖序列：理论与应用

向量函数与覆盖序列：理论与应用

在密码学的研究中，向量函数和覆盖序列是非常重要的概念，它们在设计和分析迭代分组密码等方面有着广泛的应用。本文将深入探讨向量函数的覆盖序列相关性质，以及如何利用覆盖序列构建鉴别器进行最后一轮攻击。

1. 向量函数覆盖序列的基本性质

首先，我们来了解一些关于向量函数覆盖序列的基本性质。设 (F) 是一个 ((n, m)) - 函数，((\phi, \psi)) 是 (F) 的一个覆盖序列。当 (\phi) 和 (\psi) 分别不等于 (F_2^n) 上的零函数和 (F_2^m^ ) 上的零函数时，有以下重要结论：
- 性质一 ：对于每一个向量 (u \in F_2^n)，存在 (v \in F_2^m^ ) 使得 (\chi_F(u, v) = 0)。
- 性质二 ：对于每一个向量 (v \in F_2^m)，存在一个向量 (u \in F_2^n) 使得 (\chi_F(u, v) = 0)。

下面我们来看一下这两个性质的证明思路：
- 性质一的证明 ：假设存在一个向量 (u \in F_2^n) 使得对于所有 (v \in F_2^m^ )，(\chi_F(u, v) \neq 0)。那么集合 ({u} \times F_2^m^ ) 包含在 (\chi_F) 的支撑集内。根据定理 2，对于所有 (v \in F_2^m^ )，有 (8\psi(v) = 8\phi(u))。由逆公式可知，这意味着对于每一个非零向量 (b)，(\psi(b)) 都