5、欧几里得空间、拓扑空间与离散空间

欧几里得空间、拓扑空间与离散空间

1. 欧几里得空间及其性质

1.1 欧几里得空间的定义

欧几里得空间源于欧几里得几何，通常指平面和三维几何。现代数学使用笛卡尔坐标来定义欧几里得空间，这是因为距离度量是欧几里得空间中最重要的要素，它使数学家能够用代数方法解决问题，并将欧几里得空间扩展到任意维度。

设 $\mathbb{R}$ 为实数集，$n$ 个实数的元组 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 称为 $\mathbb{R}$ 上的向量。$n$ 维欧几里得空间定义在 $\mathbb{R}^n$ 上，其中：
$\mathbb{R}^n = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} = {(x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_i \in \mathbb{R}}$

两点 $x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 和 $y = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$ 之间的距离度量定义为：
$d(x, y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_i - y_i)^2}$

$d$ 称为空间的度量，即欧几里得度量。因此，$n$ 维欧几里得空间可写为 $E^n = (\mathbb{R}^n, d)$，或简记为 $\mathbb{R}^n$，默认使用上述距离度量。

基于此度量，向量的长度定义为从原点 $(0, 0, \cdots, 0)$ 到该向量的距离：
$|x| = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_i^2}$

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