24、向量函数的构造与覆盖序列研究

向量函数的构造与覆盖序列研究

1. 向量函数的构造方法

在向量函数的构造领域，有多种方法被提出，这些方法各有特点和适用场景。

1.1 构造 2

定义一个从 (F_s^2) 到 (F_{2^m}^*) 的函数 (\pi)，其在每个 (E_i)（(i = 1, \cdots, N)）上是单射（或二对一）。选择任意的 ((s, m)) - 函数 (H)，设 (n = r + s)，则 ((n, m)) - 函数 (F) 的坐标函数定义为：
[
f_i(x, y) = x \cdot
\begin{pmatrix}
\sum_{j = 1}^{N}
\delta_{E_j}(y) \times L_{i}^{[j]} \circ \pi
\end{pmatrix}
\oplus h_i(y)
]
其中，对于每个 (j \leq N)，(\delta_{E_j}) 是集合 (E_j) 的指示函数（若 (y \in E_j)，则 (\delta_{E_j}(y) = 1)；否则，(\delta_{E_j}(y) = 0)）。该函数至少是 (t) - 弹性的，并且非线性度为 (2^{n - 1} - 2^{r - 1})（或 (2^{n - 1} - 2^{r})）。

在构造 2 中，(s) 的值可以大于或等于 (m)。一般来说，(m) 的值越小，定义大量不相交的 ([r, m, t + 1]) 码就越容易。然而，当 (m) 接近 (r) 且 (t) 较高时，有时只能定义一个唯一的 ([r, m, t + 1]) 码