46、经典通信中的量子信道容量分析

经典通信中的量子信道容量分析

1. 引言

在经典通信的量子领域中，信道容量是一个核心概念。通常，信道速率 $C$ 的最终上界是信道的多字母霍勒沃信息。不过，若能以 $\chi(N)$ 作为 $C$ 的上界会更理想，因为它比 $\frac{1}{n}\chi(N^{\otimes n})$ 更简单，且后者的优化问题在一般情况下使用有限计算资源（尤其是 $n$ 较大时）几乎无法计算。但在不了解信道结构的情况下，(20.59) 中的上界是已知的最佳上界，因此经典容量的最佳表征由 (20.22) 给出。

若某信道与其任意数量副本的张量积的霍勒沃信息是可加的，那么就无需正则化 $\chi_{reg}(N)$，定理 20.3.1 的表征会简化为霍勒沃信息 $\chi(N)$。下面我们将详细介绍几类经典容量可简化为信道霍勒沃信息的信道。

2. 纠缠破缺信道的经典容量

2.1 纠缠破缺信道的特性

纠缠破缺信道的霍勒沃信息是可加的，因此纠缠破缺信道 $N$ 的容量由 $\chi(N)$ 给出。

2.2 cq 信道

cq 信道是一种特殊的纠缠破缺信道。若一个量子信道的作用等效于先对输入进行完全投影测量，然后根据测量得到的经典变量的值制备量子态，那么它就是 cq 信道。此外，定理 13.3.3 表明，对于这类信道，霍勒沃信息是输入分布的凹函数。由于霍勒沃信息的可加性，cq 信道的经典容量可以通过优化技术来计算。

2.3 与一般信道的关系

我们可以利用 cq 纠缠破缺信道的结果来得到任意量子信道 $N$ 经典容量的合理下界。发送方 Alice 可以通过修改任意量子信道的输入处理来模拟一个纠缠破缺信道。具体步骤如下：
1. 她先在基 ${|x\rangle\langle x|}$ 下测量模拟信道的输入。
2. 根据测量结果制备状态 $\rho_x$。
3. 将该状态输入到信道 $N$ 中。

这些操作等效于以下信道：
$\sigma \to \sum_{x} \langle x|\sigma|x\rangle N(\rho_x)$

该模拟信道的容量等于 $I(X; B) {\rho}$，其中：
$\rho {XB} \equiv \sum_{x} p_X(x)|x\rangle\langle x|_X \otimes N(\rho_x)$
$p_X(x) \equiv \langle x|\sigma|x\rangle$

Alice 可以自由选择输入到模拟信道的状态 $\sigma$，以及根据第一次测量结果制备的状态 $\rho_x$。因此，我们应让她在所有这些输入上最大化霍勒沃信息。这样，纠缠破缺信道与实际信道组合的容量等于原始信道的霍勒沃信息：
$\max_{p_X(x),\rho_x} I(X; B)_{\rho}$

这个容量也被称为信道的积态容量，因为它是通过在编码器输入非纠缠、可分离状态（实际上 Alice 可以只输入积态）实现的。即使它不允许编码器处存在纠缠，它也可以是量子信道真实经典容量的一个很好的下界。

3. 量子哈达玛信道的经典容量

3.1 量子哈达玛信道的定义

量子哈达玛信道是指其互补信道是纠缠破缺的信道，这一特性使我们能够证明原始信道的霍勒沃信息是可加的。一些重要的自然信道属于量子哈达玛信道，例如无噪声量子比特信道（Bob 可以对其系统进行投影测量并向 Eve 发送恒定状态），以及广义去相位信道（该信道每使用一次具有最大经典容量 $\log d$ 比特，因为它能无误差地传输首选正交基）。还有一种具有更有趣经典容量的量子哈达玛信道是克隆信道，但这里不详细讨论。

3.2 定理及证明

定理 20.4.1 ：量子哈达玛信道 $N_H$ 和任何其他信道 $N$ 的霍勒沃信息是可加的，即：
$\chi(N_H \otimes N) = \chi(N_H) + \chi(N)$

证明 ：
首先，根据定理 13.3.2，在最大化信道的霍勒沃信息时，只需考虑信道输入的纯态系综。即我们只需考虑以下形式的经典 - 量子态：
$\sigma_{XA’} \equiv \sum_{x} p_X(x)|x\rangle\langle x| X \otimes |\varphi_x\rangle\langle \varphi_x| {A’}$

设 $\omega_{XBE} \equiv U_N^{A’ \to BE}(\sigma_{XA’})$，其中 $U_N^{A’ \to BE}$ 是信道的等距扩展，$U_N^{A’ \to BE}$ 表示相应的信道。因此，信道 $N_{A’ \to B}$ 的霍勒沃信息等于：
$\chi(N) \equiv \max_{\sigma} I(X; B) {\omega} = \max {\sigma} [H(B) {\omega} - H(B|X) {\omega}] = \max_{\sigma} [H(B) {\omega} - H(E|X) {\omega}]$

假设 $\sigma$ 是使联合信道 $N_H \otimes N$ 的霍勒沃信息最大化的状态，且具有以下形式：
$\sigma_{XA’ 1A’_2} \equiv \sum {x} p_X(x)|x\rangle\langle x| X \otimes |\varphi_x\rangle\langle \varphi_x| {A’_1A’_2}$

设 $\omega_{XB_1B_2E_1E_2} \equiv (U_{N_H}^{A’ 1 \to B_1E_1} \otimes U_N^{A’_2 \to B_2E_2})(\sigma {XA’_1A’_2})$

哈达玛信道是可降解的，从 Bob 到 Eve 的降解信道具有特定形式：先进行测量产生经典变量 $Y$，然后根据测量结果制备状态。设 $D_1^{B_1 \to Y}$ 是产生经典变量 $Y$ 的降解信道的第一部分，$\theta_{XYE_1B_2E_2} \equiv D_1^{B_1 \to Y}(\omega_{XB_1B_2E_1E_2})$。设 $D_2^{Y \to E’ 1}$ 是根据经典变量 $Y$ 产生 $E_1$ 状态的降解信道的第二部分，$\tau {XE’ 1E_1B_2E_2} \equiv D_2^{Y \to E’_1}(\theta {XYE_1B_2E_2})$。

考虑以下不等式链：
$I(X; B_1B_2) {\omega} = H(B_1B_2) {\omega} - H(B_1B_2|X) {\omega} = H(B_1B_2) {\omega} - H(E_1E_2|X) {\omega} \leq H(B_1) {\omega} + H(B_2) {\omega} - H(E_1|X) {\omega} - H(E_2|E_1X) {\omega} = H(B_1) {\omega} - H(E_1|X) {\omega} + H(B_2) {\omega} - H(E_2|E’ 1X) {\tau} \leq H(B_1) {\omega} - H(E_1|X) {\omega} + H(B_2) {\theta} - H(E_2|YX) {\theta} \leq \chi(N_H) + \chi(N)$

各等式和不等式的推导依据如下：
- 第一个等式根据量子互信息的定义得出。
- 第二个等式因为条件输入 $|\varphi_x\rangle_{A’ 1A’_2}$ 为纯态时，$H(B_1B_2|X) {\omega} = H(E_1E_2|X) {\omega}$。
- 下一个不等式由熵的次可加性 $H(B_1B_2) {\omega} \leq H(B_1) {\omega} + H(B_2) {\omega}$ 和熵的链式法则 $H(E_1E_2|X) {\omega} = H(E_1|X) {\omega} + H(E_2|E_1X) {\omega}$ 得出。
- 第三个等式通过项的重新排列和注意到 $\tau$ 在系统 $E’_1E_2X$ 上的状态等于 $\omega$ 在相同系统上的状态得出。
- 第二个不等式根据量子数据处理不等式 $I(E_2; E’_1|X) {\tau} \leq I(E_2; Y|X)_{\theta}$ 得出。
- 最终不等式因为状态 $\omega$ 具有 (20.75) 的形式，熵差永远不大于第一个信道的霍勒沃信息，以及练习 20.4.1 的结果得出。

3.3 结构关系总结

下面的 mermaid 流程图总结了量子哈达玛信道在可加性问题上的结构关系：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(Alice 制备状态):::process --> B1(通过量子哈达玛信道传输 A'_1):::process
    A --> B2(通过其他信道传输 A'_2):::process
    B1 --> C1(Bob_1 进行投影测量):::process
    C1 --> D1(产生经典变量 Y):::process
    D1 --> E1(根据 Y 制备状态):::process
    B2 --> F(Bob_2):::process
    E1 --> G(Eve_1):::process
    F --> H(Eve_2):::process

4. 量子擦除信道的经典容量

4.1 量子擦除信道的定义

量子擦除信道是我们可以计算其经典容量的最简单信道之一。$d$ 维量子擦除信道定义如下：
$\rho \to (1 - \varepsilon)\rho + \varepsilon|e\rangle\langle e|$

其中 $\rho$ 是 $d$ 维量子比特输入状态，$\varepsilon \in [0, 1]$，$|e\rangle$ 是与信道输入空间正交的擦除符号。

4.2 定理及证明

定理 20.4.2 ：$d$ 维量子擦除信道的经典容量等于 $(1 - \varepsilon) \log d$。

证明 ：
通过选择输入系综为 ${1/d, |i\rangle}$ 并计算霍勒沃信息，可以实现速率 $(1 - \varepsilon) \log d$。现在需要证明不可能实现更高的速率。

设 $M_{A_1 \to B_1}$ 是某个量子信道，$N^{\varepsilon} {A_2 \to B_2}$ 表示量子擦除信道。设 $\rho {XA_1A_2}$ 是以下经典 - 量子状态：
$\rho_{XA_1A_2} \equiv \sum_{x} p_X(x)|x\rangle\langle x|_X \otimes \varphi_x^{A_1A_2}$

假设它实现了霍勒沃信息 $\chi(M \otimes N^{\varepsilon})$。考虑：
$\omega_{XB_1B_2} \equiv (M_{A_1 \to B_1} \otimes N^{\varepsilon} {A_2 \to B_2})(\rho {XA_1A_2}) = \sum_{x} p_X(x)|x\rangle\langle x| X \otimes [(1 - \varepsilon)M {A_1 \to B_1}(\varphi_x^{A_1A_2}) + \varepsilon M_{A_1 \to B_1}(\varphi_x^{A_1}) \otimes |e\rangle\langle e|_{B_2}]$

通过等距变换 $[|0\rangle\langle 0| {B_2} + \cdots + |d - 1\rangle\langle d - 1| {B_2}] \otimes |0\rangle_Y + |e\rangle\langle e| {B_2} \otimes |1\rangle_Y$，上述状态变为：
$\omega {XB_1B_2Y} \equiv \sum_{x} p_X(x)|x\rangle\langle x| X \otimes M {A_1 \to B_1}(\varphi_x^{A_1A_2}) \otimes (1 - \varepsilon)|0\rangle\langle 0| Y + \sum {x} p_X(x)|x\rangle\langle x| X \otimes M {A_1 \to B_1}(\varphi_x^{A_1}) \otimes |e\rangle\langle e|_{B_2} \otimes \varepsilon|1\rangle\langle 1|_Y$

其中 $Y$ 寄存器是一个标志，指示是否发生了擦除。

则有：
$\chi(M \otimes N^{\varepsilon}) = I(X; B_1B_2) {\omega} = I(X; B_1B_2Y) {\omega} = I(X; B_1B_2|Y) {\omega} + I(X; Y) {\omega} = I(X; B_1B_2|Y) {\omega} = (1 - \varepsilon) I(X; B_1A_2) {M(\varphi_x)} + \varepsilon I(X; B_1)_{M(\varphi_x)} \leq (1 - \varepsilon) \chi(M \otimes id) + \varepsilon \chi(M) = \chi(M) + (1 - \varepsilon) \chi(id) = \chi(M) + (1 - \varepsilon) \log d$

各等式和不等式的推导依据如下：
- 第二个等式因为上述等距变换将 $B_1B_2$ 变换为 $B_1B_2Y$。
- 第三个等式根据互信息的链式法则得出。
- 第四个等式因为 $I(X; Y)_{\omega} = 0$。
- 第五个等式因为 $Y$ 是经典系统，所以可以将互信息展开为各个互信息的凸组合。
- 不等式通过在所有输入系综上最大化霍勒沃信息得出。
- 倒数第二个等式因为单位信道是哈达玛信道，所以定理 20.4.1 意味着 $\chi(M \otimes id) = \chi(M) + \chi(id)$。

通过设置 $M = (N^{\varepsilon})^{\otimes [n - 1]}$ 并迭代上述过程，我们可以看到 $\chi((N^{\varepsilon})^{\otimes n}) \leq n (1 - \varepsilon) \log d$，因此正则化的霍勒沃信息不能超过 $(1 - \varepsilon) \log d$。由于该速率也是可实现的，证明完毕。

4.3 计算过程总结

下面的表格总结了量子擦除信道经典容量的计算过程：
|步骤|操作|依据|
|----|----|----|
|1|定义输入系综和状态|选择 ${1/d, |i\rangle}$ 作为输入系综，定义 $\rho_{XA_1A_2}$|
|2|计算输出状态 $\omega_{XB_1B_2}$|通过信道作用得到 $\omega_{XB_1B_2} = (M_{A_1 \to B_1} \otimes N^{\varepsilon} {A_2 \to B_2})(\rho {XA_1A_2})$|
|3|进行等距变换|将 $\omega_{XB_1B_2}$ 变换为 $\omega_{XB_1B_2Y}$|
|4|计算互信息并推导不等式|根据互信息的性质和等距变换的结果推导 $\chi(M \otimes N^{\varepsilon})$ 的不等式|
|5|迭代得出结论|设置 $M = (N^{\varepsilon})^{\otimes [n - 1]}$ 迭代得到最终结果|

5. 量子去极化信道的经典容量

5.1 量子去极化信道的定义

量子去极化信道是另一个可以计算其经典容量的信道示例。$d$ 维量子去极化信道的映射定义如下：
$N_D(\rho) = (1 - p)\rho + p\pi$
其中 $\pi$ 是最大混合态。

5.2 定理及证明

定理 20.4.3 ：$d$ 维量子去极化信道 $N_D$ 的经典容量为：
$\chi(N_D) = \log d + \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) \log \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) + (d - 1) \frac{p}{d} \log \left(\frac{p}{d}\right)$

证明 ：
该定理证明的第一部分依赖于一个技术结果，即张量积信道 $N_D \otimes N$ 的霍勒沃信息是可加的，即：
$\chi(N_D \otimes N) = \chi(N_D) + \chi(N)$
这意味着去极化信道的经典容量等于其霍勒沃信息。接下来计算去极化信道的霍勒沃信息，首先需要确定其最小输出熵。

5.2.1 最小输出熵的定义与计算

定义 20.4.1 ：信道 $N$ 的最小输出熵 $H_{min}(N)$ 是信道输出熵的最小值：
$H_{min}(N) \equiv \min_{\rho} H(N(\rho))$
在计算最小输出熵时，只需考虑纯态输入，即：
$H_{min}(N) = \min_{|\psi\rangle} H(N(|\psi\rangle\langle\psi|))$

对于去极化信道，若输入纯态 $|\psi\rangle$，输出为：
$(1 - p)\psi + p\pi = (1 - p)\psi + \frac{p}{d}I = \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) \psi + \frac{p}{d}(I - \psi)$
可以观察到，对于任何纯态输入，输出态的特征值相同，其中一个特征值为 $1 - p + \frac{p}{d}$，重数为 1；另一个特征值为 $\frac{p}{d}$，重数为 $d - 1$。因此，去极化信道的最小输出熵为：
$H_{min}(N_D) = - \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) \log \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) - (d - 1) \frac{p}{d} \log \left(\frac{p}{d}\right)$

5.2.2 霍勒沃信息的计算

根据定理 13.3.2，在优化霍勒沃信息时，只需考虑条件态为纯态的经典 - 量子态。霍勒沃信息具有以下形式：
$\max_{\sigma} I(X; B) {\omega} = \max {\sigma} [H(B) {\omega} - H(B|X) {\omega}]$
考虑以下增强输入系综：
$\rho_{XIJA’} \equiv \frac{1}{d^2} \sum_{x} \sum_{i,j = 0}^{d - 1} p_X(x)|x\rangle\langle x| X \otimes |i\rangle\langle i|_I \otimes |j\rangle\langle j|_J \otimes X(i)Z(j)\psi_x^{A’}Z^{\dagger}(j)X^{\dagger}(i)$
若对 $IJ$ 系统求迹，状态 $\rho {XA’}$ 为：
$\rho_{XA’} = \sum_{x} p_X(x)|x\rangle\langle x| X \otimes \pi {A’}$
注意到将最大混合态输入去极化信道会得到最大混合态输出。考虑以下不等式链：
$I(X; B) {\omega} = H(B) {\omega} - H(B|X) {\omega} \leq H(B) {\rho} - H(B|X) {\omega} = \log d - H(B|XIJ) {\rho} = \log d - \sum_{x} p_X(x)H(B) {N_D(\psi_x)} \leq \log d - \min {x} H(B) {N_D(\psi_x)} \leq \log d - H {min}(N_D)$

各等式和不等式的推导依据如下：
- 第一个等式通过展开量子互信息得出。
- 第一个不等式根据熵的凹性得出。
- 第二个等式因为 $\rho$ 在系统 $B$ 上的状态是最大混合态 $\pi$，且：
$H(B|XIJ) {\rho} = \frac{1}{d^2} \sum {x} \sum_{i,j = 0}^{d - 1} p_X(x)H(B) {N_D(X(i)Z(j)\psi_xZ^{\dagger}(j)X^{\dagger}(i))} = \frac{1}{d^2} \sum {x} \sum_{i,j = 0}^{d - 1} p_X(x)H(B) {X(i)Z(j)N_D(\psi_x)Z^{\dagger}(j)X^{\dagger}(i)} = \sum {x} p_X(x)H(B) {N_D(\psi_x)} = H(B|X) {\omega}$
- 第三个等式根据上述等式链得出。
- 第二个不等式因为期望永远不会小于最小值。
- 最后一个不等式因为 $\min_{x} H(B) {N_D(\psi_x)} \geq H {min}(N_D)$（对于去极化信道实际上是等式）。

一个形式如下的系综足以实现去极化信道的经典容量：
$\frac{1}{d} \sum_{i = 0}^{d - 1} |i\rangle\langle i| I \otimes |i\rangle\langle i| {A’}$
因为只需要 $A’$ 上的约化状态等于最大混合态。

5.3 实现经典容量的策略

练习 20.4.3 表明，通过选择系综 ${\frac{1}{d}, |x\rangle\langle x|}$ 中的状态，并在每个信道输出处进行相同基的完全投影测量，就可以实现去极化信道的经典容量。具体步骤如下：
1. 确定诱导经典信道 ：输入状态 $|x\rangle$ 到去极化信道并在输出处测量 $|y\rangle$ 所诱导的经典信道 $p_{Y|X}(y|x)$ 为：
$p_{Y|X}(y|x) = (1 - p)\delta_{x,y} + \frac{p}{d}$
2. 证明输出分布均匀性 ：若输入分布 $p_X(x)$ 均匀，则输出分布 $p_Y(y)$ 也是均匀的。
3. 计算条件熵 ：
$H(Y|X) = - \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) \log \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) - (d - 1) \left(\frac{p}{d}\right) \log \left(\frac{p}{d}\right)$
4. 得出结论 ：诱导经典信道 $p_{Y|X}(y|x)$ 的经典容量与量子去极化信道的经典容量相同。

5.4 经典容量的可视化

下面的 mermaid 流程图展示了实现去极化信道经典容量的过程：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(选择输入系综 {1/d, |x><x|}):::process --> B(输入到去极化信道):::process
    B --> C(进行完全投影测量):::process
    C --> D(计算诱导经典信道 p_Y|X(y|x)):::process
    D --> E(验证输出分布均匀性):::process
    E --> F(计算条件熵 H(Y|X)):::process
    F --> G(得出经典容量):::process

5.5 经典容量与参数的关系

量子去极化信道的经典容量是信道维度 $d$ 和去极化参数 $p$ 的函数，其关系如图所示：
|参数情况|经典容量情况|
| ---- | ---- |
|$p = 1$|经典容量为 0，因为信道将输入替换为最大混合态|
|$p = 0$|经典容量为 $\log d$，因为此时没有噪声|
|$0 < p < 1$|经典容量是 $p$ 和 $d$ 的平滑函数，由公式 $\chi(N_D) = \log d + \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) \log \left(1 - p + \frac{p}{d}\right) + (d - 1) \frac{p}{d} \log \left(\frac{p}{d}\right)$ 给出|

6. 总结

本文详细分析了几种量子信道的经典容量，包括纠缠破缺信道、量子哈达玛信道、量子擦除信道和量子去极化信道。对于不同类型的信道，我们通过不同的方法计算其经典容量，如利用霍勒沃信息的可加性、优化技术等。这些结果不仅有助于我们理解量子信道在经典通信中的性能，还为设计高效的量子通信方案提供了理论基础。

通过对这些信道的研究，我们发现不同信道的经典容量计算方法和实现策略具有各自的特点。例如，纠缠破缺信道的经典容量可以通过优化输入分布来计算，而量子去极化信道的经典容量计算则需要考虑其高度对称性和最小输出熵。同时，我们还看到一些信道的经典容量可以通过相对简单的“经典”策略来实现，如去极化信道。

未来，随着量子通信技术的不断发展，对更多类型量子信道容量的研究将变得更加重要。进一步探索量子信道容量的计算方法和实现策略，有望为量子通信的实际应用带来新的突破。