56、量子通信中的信道容量与奇异现象

量子通信中的信道容量与奇异现象

一、量子纠错码与错误概率

在量子通信里，量子纠错码发挥着关键作用。我们先来看一系列关于错误概率的推导。

1. 错误概率的不等式推导

存在如下不等式关系：
[
\begin{align }
&\leq\Pr_{S}\left{\exists E_{b_n}: b_n \in T_{p^n}^{\delta}, b_n \neq a_n, E_{a_n}^{\dagger}E_{b_n} \in N(S)\right}\
&=\Pr_{S}\left{\bigcup_{b_n\in T_{p^n}^{\delta}, b_n\neq a_n} E_{a_n}^{\dagger}E_{b_n} \in N(S)\right}\
&\leq\sum_{b_n\in T_{p^n}^{\delta}, b_n\neq a_n}\Pr_{S}\left{E_{a_n}^{\dagger}E_{b_n} \in N(S)\right}\
&\leq\sum_{b_n\in T_{p^n}^{\delta}, b_n\neq a_n}2^{-(n - k)}\
&\leq2^{n[H(p) + \delta]}2^{-(n - k)}\
&= 2^{-n[1 - H(p) - k/n - \delta]}
\end{align }
]
这里，第一个等式源于量子稳定子码的纠错条件，其中 (N(S)) 是 (S) 的正规化子。第一个不等式是忽略了码中可能存在的简并情况，若错误处于正规化子 (N(S)) 中，我们就认为该错误不可纠正，且由于 (N(S)\setminus S \subseteq N(S))，所以概率只会更大。第二个等式是因为存在准则和事件并集的概率相等。第二个不等式运用了联合界。第三个不等式则是基于固定算符 (E_{a_n}^{\dagger}E_{b_n})（不等于单位算符）与随机稳定子的稳定子算符对易的概率有上界：
(\Pr_{S}\left{E_{a_n}^{\dagger}E_{b_n} \in N(S)\right} = \frac{2^{n + k} - 1}{2^{2n} - 1} \leq 2^{-(n - k)})

2. 稳定子码的选择与错误概率期望

随机选择稳定子码等同于固定算符 (Z_1, \cdots, Z_{n - k}) 并执行均匀随机的克利福德幺正变换 (U)。一个固定算符与 (UZ_1U^{\dagger}, \cdots, UZ_{n - k}U^{\dagger}) 对易的概率，就是正规化子中非单位算符的数量（(2^{n + k} - 1)）除以非单位算符的总数（(2^{2n} - 1)）。应用上述界后，再利用典型性界 (|T_{p^n}^{\delta}| \leq 2^{n[H(p) + \delta]})，代回 (24.113) 式，可得：
(E_S {p_e} \leq 2^{-n[1 - H(p) - k/n - \delta]} + \varepsilon)
由此我们得出，只要速率 (k/n = 1 - H(p) - 2\delta)，错误概率的期望就会变得任意小，这意味着至少存在一种稳定子码的选择，能使错误概率满足相同的界。

二、示例信道的量子容量计算

1. 量子擦除信道

1.1 信道作用

量子擦除信道对输入密度算符 (\rho_{A’}) 的作用如下：
(\rho_{A’} \to (1 - \varepsilon) \rho_{B} + \varepsilon|e\rangle\langle e| {B})
其中，(\varepsilon \in [0, 1]) 是擦除概率，(|e\rangle {B}) 是与任何输入态 (\rho) 的支集正交的擦除态。

1.2 量子容量

当 (\varepsilon \in [0, 1/2]) 时，量子擦除信道的量子容量为 ((1 - 2\varepsilon) \log d_A)；当 (\varepsilon \in [1/2, 1]) 时，量子容量为零。证明过程如下：
- 当 (\varepsilon \in [1/2, 1]) 时，该信道是反退化的，根据相关结论可推出量子容量为零。
- 当 (\varepsilon \in [0, 1/2]) 时，信道是退化的，只需计算其相干信息。发送纯二部态 (\varphi_{AA’}) 的一个份额通过信道，输出为：
(\sigma_{AB} \equiv (1 - \varepsilon) \varphi_{AB} + \varepsilon\varphi_{A} \otimes |e\rangle\langle e| {B})
Bob 可对其态应用等距变换 (U {B \to BX} \equiv \Pi_{B} \otimes |0\rangle_{X} + |e\rangle\langle e| {B} \otimes |1\rangle {X})，得到态 (\sigma_{ABX})：
(\sigma_{ABX} \equiv U_{B \to BX}\sigma_{AB}U_{B \to BX}^{\dagger} = (1 - \varepsilon) \varphi_{AB} \otimes |0\rangle\langle 0| {X} + \varepsilon\varphi {A} \otimes |e\rangle\langle e| {B} \otimes |1\rangle\langle 1| {X})
相干信息 (I(A\rangle BX) {\sigma}) 等于 (I(A\rangle B) {\sigma})，经计算：
[
\begin{align }
I(A\rangle BX) {\sigma} &= H(BX) {\sigma} - H(ABX) {\sigma}\
&= H(B|X) {\sigma} - H(AB|X) {\sigma}\
&= (1 - \varepsilon) [H(B) {\varphi} - H(AB) {\varphi}] + \varepsilon\left[H(B) {|e\rangle\langle e|} - H(AB) {\varphi {A}\otimes|e\rangle\langle e|}\right]\
&= (1 - \varepsilon) H(B) {\varphi} - \varepsilon\left[H(A) {\varphi} + H(B) {|e\rangle\langle e|}\right]\
&= (1 - 2\varepsilon) H(A) {\varphi}\
&\leq (1 - 2\varepsilon) \log d_A
\end{align }
]
最大纠缠态 (\Phi_{AA’}) 能使量子擦除信道在 (\varepsilon \in [0, 1/2]) 时达到量子容量，因为 (H(A)_{\Phi} = \log d_A)。

2. 振幅阻尼信道

2.1 信道作用

振幅阻尼信道 (N_{AD}) 对处于态 (\rho) 的输入量子比特的作用为：
(N_{AD}(\rho) = A_0\rho A_0^{\dagger} + A_1\rho A_1^{\dagger})
其中，对于 (\gamma \in [0, 1])，
(A_0 \equiv |0\rangle\langle 0| + \sqrt{1 - \gamma}|1\rangle\langle 1|)，(A_1 \equiv \sqrt{\gamma}|0\rangle\langle 1|)

2.2 量子容量

当 (\gamma \in [0, 1/2]) 时，振幅阻尼信道的量子容量为 (\max_{p\in[0,1]} h_2((1 - \gamma)p) - h_2(\gamma p))；当 (\gamma \in [1/2, 1]) 时，量子容量为零。证明过程如下：
- 假设输入量子比特密度算符 (\rho) 在计算基下的矩阵表示为 (\rho = \begin{pmatrix}1 - p & \eta^ \ \eta & p\end{pmatrix})，则 Bob 的密度算符矩阵表示为 (N_{AD}(\rho) = \begin{pmatrix}1 - (1 - \gamma) p & \sqrt{1 - \gamma}\eta^ \ \sqrt{1 - \gamma}\eta & (1 - \gamma) p\end{pmatrix})，Eve 的密度算符矩阵表示为 (N_{AD}^c(\rho) = \begin{pmatrix}1 - \gamma p & \sqrt{\gamma}\eta^* \ \sqrt{\gamma}\eta & \gamma p\end{pmatrix})，其中 (N_{AD}^c) 是 Eve 的互补信道。可以看出 Eve 的信道也是振幅阻尼信道，阻尼参数为 (1 - \gamma)。
- 当 (\gamma \in [1/2, 1]) 时，信道是反退化的，量子容量为零；当 (\gamma \in [0, 1/2]) 时，信道是退化的，量子容量等于其相干信息 (Q(N_{AD}) = \max_{\varphi_{AA’}} I(A\rangle B)_{\sigma})。通过分析可知，优化相干信息时只需考虑 (p) 且 (\eta = 0)。最终得到量子容量的表达式。

3. 练习（去相位信道）

对于去相位信道 (\rho \to (1 - p/2) \rho + (p/2)Z\rho Z)，其量子容量为 (1 - h_2(p/2))，其中 (p) 是去相位参数。

三、量子容量的奇异现象

1. 相干信息的超可加性

1.1 去极化信道

去极化信道 (N_D) 以概率 (1 - p) 传输输入，以概率 (p \in [0, 1]) 将其替换为最大混合态 (\pi)：
(N_D(\rho) = (1 - p)\rho + p\pi)
该信道是非退化的，其相干信息在信道噪声很大时是严格超可加的，即 (5Q(N_D) < Q((N_D)^{\otimes 5}))。

1.2 相干信息计算

• 单信道使用时，最大纠缠态 (\Phi_{AA’}) 能使信道相干信息 (Q(N_D)) 在非负时达到最大。计算可得：
  (Q(N_D) = H(B) {\Phi} - H(AB) {N_D(\Phi)} = 1 - H(AB) {N_D(\Phi)})
  其中，(H(B) {\Phi} = 1)，(AB) 上的态为 ((1 - p)\Phi_{AB} + p\pi_A \otimes \pi_B = \left(1 - \frac{3p}{4}\right) \Phi_{AB} + \frac{p}{4} (I_{AB} - \Phi_{AB}))，其特征值为 (1 - \frac{3p}{4})（重数为 1）和 (\frac{p}{4})（重数为 3），所以 (H(AB)_{N_D(\Phi)} = -\left(1 - \frac{3p}{4}\right) \log\left(1 - \frac{3p}{4}\right) - \frac{3p}{4} \log\left(\frac{p}{4}\right))，则单拷贝相干信息为 (Q(N_D) = 1 + \left(1 - \frac{3p}{4}\right) \log\left(1 - \frac{3p}{4}\right) + \frac{3p}{4} \log\left(\frac{p}{4}\right))。
• 另一种传输量子数据的策略是用五量子比特重复码对最大纠缠态的一个份额进行编码：
  (\frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle_{AA_1} + |11\rangle_{AA_1}) \to \frac{1}{\sqrt{2}} (|000000\rangle_{AA_1A_2A_3A_4A_5} + |111111\rangle_{AA_1A_2A_3A_4A_5}))
  计算发送 (A_1 \cdots A_5) 通过信道后状态的相干信息 (\frac{1}{5}I(A\rangle B_1B_2B_3B_4B_5))。当信道噪声很大时，这种级联策略能超越单拷贝相干信息，这体现了相干信息的超可加性。这种现象的原因是重复码的简并性，在信道噪声低时，简并性作用不大，但噪声大时，简并性的帮助能抵消速率的损失。

2. 量子容量的超激活

2.1 现象描述

假设有两个量子信道 (N_1) 和 (N_2)，它们各自的量子容量为零，但它们的张量积信道 (N_1 \otimes N_2) 却可能有非零的量子容量，这就是量子容量的超激活现象。

2.2 定理证明

考虑一个 50% 量子擦除信道 (N_1) 和另一个信道 (N_2)。存在定理表明，联合信道 (N_1 \otimes N_2) 的相干信息至少等于 (N_2) 单独的私密信息的一半，即 (H(B_1B_2) {\omega} - H(E_1E_2) {\omega} = \frac{1}{2} [I(X; B_2) {\rho} - I(X; E_2) {\rho}])，进而有 (Q(N_1 \otimes N_2) \geq P(N_2)/2)。证明过程涉及一系列态的构造和熵的计算，通过等距变换和熵的链式法则等进行推导。

2.3 实例

纠缠绑定信道就是一个例子，它能产生私密经典通信，但不能传输量子信息。50% 量子擦除信道和纠缠绑定信道可以相互超激活。这种现象表明量子信道传输量子信息的能力依赖于使用环境，也意味着刻画量子容量的公式在某些情况下应该是强非可加的。

综上所述，量子通信中的信道容量计算和奇异现象为我们揭示了量子世界的独特规律，也让我们认识到目前在理解可靠量子通信速率方面还有很长的路要走。

四、量子容量相关概念总结与对比

1. 不同信道量子容量总结

信道类型	量子容量表达式	适用条件
量子擦除信道	((1 - 2\varepsilon) \log d_A)	(\varepsilon \in [0, 1/2])
	(0)	(\varepsilon \in [1/2, 1])
振幅阻尼信道	(\max_{p\in[0,1]} h_2((1 - \gamma)p) - h_2(\gamma p))	(\gamma \in [0, 1/2])
	(0)	(\gamma \in [1/2, 1])
去相位信道	(1 - h_2(p/2))	(p) 为去相位参数

从这个表格中我们可以清晰地看到不同信道在不同参数条件下量子容量的差异。例如，量子擦除信道和振幅阻尼信道在参数处于不同范围时，量子容量会出现从有到无的变化，这反映了信道特性对量子容量的关键影响。

2. 相干信息超可加性与量子容量超激活对比

现象	表现	原因	影响
相干信息超可加性	(5Q(N_D) < Q((N_D)^{\otimes 5}))（去极化信道）	重复码的简并性，噪声大时简并性帮助抵消速率损失	挑战了对量子容量常规的认知，表明非退化信道在噪声大时相干信息有特殊表现
量子容量超激活	两个零容量信道 (N_1) 和 (N_2) 组合后 (N_1 \otimes N_2) 有非零容量	联合信道相干信息与单个信道私密信息的关系	说明量子信道传输能力依赖使用环境，暗示量子容量公式应具有强非可加性

这两种现象都打破了我们对量子容量的传统认知，让我们意识到量子通信中的复杂性和独特性。

五、量子容量研究的意义与展望

1. 研究意义

• 理论层面 ：量子容量的研究深化了我们对量子信道特性的理解。通过对不同类型信道量子容量的计算和分析，我们能够更准确地把握量子信息在信道中传输的规律，为量子信息理论的发展提供了坚实的基础。例如，相干信息超可加性和量子容量超激活现象的发现，促使我们重新审视量子容量的定义和计算方法，推动了量子香农理论的进步。
• 应用层面 ：准确计算量子容量有助于优化量子通信系统的设计。在实际的量子通信中，我们可以根据信道的量子容量来合理选择编码方式和传输策略，提高量子信息传输的可靠性和效率。比如，在量子擦除信道中，根据不同的擦除概率选择合适的编码方案，以实现最大的量子容量。

2. 未来展望

• 公式探索 ：目前对于非退化信道的量子容量，我们还缺乏精确的计算公式。未来的研究需要寻找一种能够准确刻画量子容量的公式，这种公式应该能够适应各种类型的信道，包括那些表现出奇异现象的信道。这将是一个具有挑战性的任务，需要综合运用量子信息理论、数学等多学科的知识。
• 实验验证 ：虽然理论上已经发现了相干信息超可加性和量子容量超激活等现象，但在实验上的验证还相对较少。未来需要开展更多的实验研究，验证这些理论结果的正确性，并探索如何在实际的量子通信系统中利用这些现象来提高通信性能。
• 多信道协同 ：随着量子通信网络的发展，多个量子信道的协同使用将变得越来越重要。研究多个信道组合后的量子容量，以及如何实现它们之间的最优协同，将是未来量子通信研究的一个重要方向。例如，如何利用量子容量超激活现象，将多个看似无用的信道组合起来，实现高效的量子信息传输。

六、总结

量子通信中的信道容量计算和相关奇异现象是一个充满挑战和机遇的研究领域。通过对量子纠错码、不同示例信道量子容量的计算，以及相干信息超可加性和量子容量超激活等现象的研究，我们对量子通信有了更深入的认识。然而，目前我们在理解可靠量子通信速率方面还存在很多不足，未来需要在理论公式探索、实验验证和多信道协同等方面进行更多的研究，以推动量子通信技术的发展，实现更高效、更可靠的量子信息传输。

下面是一个 mermaid 流程图，展示了量子容量研究的大致流程：

graph LR
    A[定义信道类型] --> B[计算量子容量]
    B --> C{是否为非退化信道}
    C -- 是 --> D[研究奇异现象]
    C -- 否 --> E[常规分析]
    D --> F[探索新公式]
    E --> G[优化通信策略]
    F --> H[实验验证]
    G --> H
    H --> I[多信道协同研究]

这个流程图概括了从信道定义到最终多信道协同研究的整个过程，体现了量子容量研究的系统性和连贯性。