45、量子信道经典通信容量相关研究

量子信道经典通信容量相关研究

1. 信息处理任务

1.1 经典通信

经典通信是信息处理任务的一种重要形式。在量子信道的经典通信中，Alice 首先从消息集合 ${1, \ldots, |M|}$ 中选择一个经典消息 $m$ 进行传输。设 $M$ 是对应 Alice 消息选择的随机变量，$|M|$ 是其基数。

Alice 准备状态 $\rho_m^{A’n}$ 作为多次独立使用信道的输入，输入系统是信道输入系统 $A’$ 的 $n$ 个副本。她通过 $n$ 次独立使用信道 $\mathcal{N}$ 传输该状态，Bob 接收端的状态为 $\mathcal{N}^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})$。

Bob 利用解码 POVM ${\Lambda_m}$ 来确定 Alice 传输的消息。Bob 确定正确消息 $m$ 的概率为：
$Pr {M’ = m|M = m} = Tr[\Lambda_m\mathcal{N}^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})]$

特定消息 $m$ 的错误概率为：
$p_e(m) \equiv 1 - Pr {M’ = m|M = m} = Tr[(I - \Lambda_m)\mathcal{N}^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})]$

任何编码方案的最大错误概率为：
$p_e^* \equiv \max_{m\in M} p_e(m)$

通信速率 $C$ 定义为：
$C \equiv \frac{1}{n} \log |M|$

如果 $p_e^* \leq \epsilon$，则该码的错误率为 $\epsilon \in [0, 1]$。若对于所有 $\delta > 0$，$\epsilon \in (0, 1)$ 以及足够大的 $n$，存在 $(n, C - \delta, \epsilon)$ 码，则信道 $\mathcal{N}$ 的经典通信速率 $C$ 是可实现的。信道 $\mathcal{N}$ 的经典容量 $C(\mathcal{N})$ 等于所有可实现经典通信速率的上确界。

1.2 随机性分布

发送者和接收者可以利用量子信道进行随机性分布任务。在这个任务中，Alice 首先准备一个局部经典系统处于均匀随机状态，并复制一份，目标是让 Bob 获得副本，使得协议结束时 Alice 和 Bob 共享如下形式的状态：
$\Phi_{MM’} \equiv \sum_{m\in M} \frac{1}{|M|}|m\rangle\langle m| M \otimes |m\rangle\langle m| {M’}$

虽然这种共享随机性作为资源不是特别有用，但它有助于证明本章的逆定理以及后续量子香农理论中的其他信息处理任务。需要注意的是，无噪声经典比特信道总能产生 1 比特无噪声共享随机性。因此，如果量子信道具有特定的经典通信容量，它也能实现相同的随机性分布容量。实际上，随机性分布容量总是大于或等于经典通信容量，因为共享随机性是比经典通信更弱的资源。这为通过随机性分布容量来上界经典通信容量提供了一种简单方法。

随机性分布的最一般协议如下：
1. Alice 本地准备状态 $\Phi_{MM’}$。
2. 她执行编码信道，将状态转换为：$\sum_{m\in M} \frac{1}{|M|}|m\rangle\langle m| M \otimes \rho_m^{A’n}$。
3. 她通过 $n$ 次独立使用量子信道 $\mathcal{N}$ 传输 $A’n$ 系统，产生状态：$\omega {MB^n} \equiv \sum_{m\in M} \frac{1}{|M|}|m\rangle\langle m| M \otimes \mathcal{N}^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})$。
4. Bob 对接收到的系统执行量子仪器（利用 POVM ${\Lambda_m}$），得到状态：$\sum {m,m’\in M} \frac{1}{|M|}|m\rangle\langle m| M \otimes [\Lambda {m’}\mathcal{N}^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})\Lambda_{m’}] \otimes |m’\rangle\langle m’|_{M’}$。

对于 $(n, C, \epsilon)$ 随机性分布协议，状态 $\omega_{MM’}$ 在迹距离上应与原始状态 $\Phi_{MM’}$ 接近，即：
$\frac{1}{2} |\Phi_{MM’} - \omega_{MM’}|_1 \leq \epsilon$

如果对于所有 $\delta > 0$，$\epsilon \in (0, 1)$ 以及足够大的 $n$，存在 $(n, C - \delta, \epsilon)$ 随机性分布码，则随机性分布速率 $C$ 是可实现的。随机性分布容量等于所有可实现速率的上确界。显然，从定义可知，信道的经典容量永远不会超过随机性分布容量。

2. 经典容量定理

2.1 定理内容

经典容量定理指出，量子信道的经典容量等于信道 Holevo 信息的正则化：
$C(\mathcal{N}) = \chi_{reg}(\mathcal{N})$

其中，$\chi_{reg}(\mathcal{N}) \equiv \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{1}{k} \chi(\mathcal{N}^{\otimes k})$，信道 $\mathcal{N}$ 的 Holevo 信息 $\chi(\mathcal{N})$ 定义在其他地方。

正则化反映了目前对于量子信道经典容量没有更好的公式。该定理的证明分为直接编码定理和逆定理两部分。

2.2 直接编码定理

2.2.1 编码过程

假设量子信道 $\mathcal{N}$ 连接 Alice 和 Bob，他们可以多次独立使用该信道。Alice 选择状态集合 ${p_X(x), \rho_x}$ 来为信道生成随机码。她根据以下分布独立选择 $|M|$ 个码字 ${x^n(m)} {m\in{1,\ldots,|M|}}$：
$p {X’^n}’(x^n) =
\begin{cases}
\left(\sum_{x^n\in T_{X^n}^{\delta}} p_{X^n}(x^n)\right)^{-1} p_{X^n}(x^n) & : x^n \in T_{X^n}^{\delta} \
0 & : x^n \notin T_{X^n}^{\delta}
\end{cases}$

其中，$X’^n$ 是具有分布 $p_{X’^n}’(x^n)$ 的随机变量，$p_{X^n}(x^n) = p_X(x_1) \cdots p_X(x_n)$，$T_{X^n}^{\delta}$ 表示分布 $p_{X^n}(x^n)$ 的强典型序列集合。

这些经典码字通过集合 ${p_X(x), \rho_x}$ 中的量子态生成量子码字：
$\rho_{x^n(m)} \equiv \rho_{x_1(m)} \otimes \cdots \otimes \rho_{x_n(m)}$

Alice 通过信道传输这些码字，得到张量积密度算子：
$\sigma_{x^n(m)} \equiv \sigma_{x_1(m)} \otimes \cdots \otimes \sigma_{x_n(m)} \equiv \mathcal{N}(\rho_{x_1(m)}) \otimes \cdots \otimes \mathcal{N}(\rho_{x_n(m)})$

Bob 利用检测 POVM ${\Lambda_m}$ 作用于所有信道输出来检测 Alice 传输的码字。

2.2.2 应用 packing 引理

为了应用 packing 引理，需要满足四个条件：
1. 选择码的集合：${p_{X’^n}’(x^n), \sigma_{x^n}}$。
2. 集合的期望密度算子：$E_{X’^n}[\sigma_{X’^n}] = \sum_{x^n\in X^n} p_{X’^n}’(x^n) \sigma_{x^n}$。
3. 消息子空间投影算子：条件典型投影算子 $\Pi_{\delta}^{B^n|x^n}$ 用于状态 $\sigma_{x^n}$。
4. 总子空间投影算子：典型投影算子 $\Pi_{\delta}^{B^n}$ 用于张量积状态 $\sigma^{\otimes n}$，其中 $\sigma \equiv \sum_{x} p_X(x) \sigma_x$。

可以证明，对于足够大的 $n$，期望状态 $E_{X’^n}[\sigma_{X’^n}]$ 与张量积状态 $\sigma^{\otimes n}$ 的迹距离很小：
$|E_{X’^n}[\sigma_{X’^n}] - \sigma^{\otimes n}|_1 \leq 2\epsilon$

通过典型和条件典型投影算子的性质，可以满足 packing 引理的四个条件：
1. $Tr[\Pi_{\delta}^{B^n} \sigma_{x^n}^{B^n}] \geq 1 - \epsilon$
2. $Tr[\Pi_{\delta}^{B^n|x^n} \sigma_{x^n}^{B^n}] \geq 1 - \epsilon$
3. $Tr[\Pi_{\delta}^{B^n|x^n}] \leq 2^{n(H(B|X)+c\delta)}$
4. $\Pi_{\delta}^{B^n} E_{X’^n}[\sigma_{X’^n}^{B^n}] \Pi_{\delta}^{B^n} \leq [1 - \epsilon]^{-1} 2^{-n(H(B)-c’\delta)} \Pi_{\delta}^{B^n}$

满足这些条件后，根据 packing 引理的推论，存在确定性码和 POVM ${\Lambda_m}$，只要消息集大小 $|M|$ 足够小，最大错误概率可以任意低：
$p_e^* \equiv \max_{m} Tr[(I - \Lambda_m) \mathcal{N}^{\otimes n}(\rho_{x^n(m)})] \leq 4(\epsilon + 2\sqrt{\epsilon}) + 16 [1 - \epsilon]^{-1} 2^{-n(I(X;B)-(c+c’)\delta)} |M|$

选择消息集大小 $|M| = 2^{n(I(X;B)-(c+c’+1)\delta)}$，通信速率为 Holevo 信息 $I(X; B)$：
$\frac{1}{n} \log |M| = I(X; B) - (c + c’ + 1)\delta$

最大错误概率的上界变为：
$p_e^* \leq 4(\epsilon + 2\sqrt{\epsilon}) + 16 [1 - \epsilon]^{-1} 2^{-n\delta}$

通过选择足够大的 $n$，可以使错误概率和速率偏差满足要求，因此 Holevo 信息 $I(X; B)$ 是量子信道 $\mathcal{N}$ 经典信息传输的可实现速率。

2.2.3 纠缠的作用

上述信道 $\mathcal{N}$ 的编码方案在编码器端不使用纠缠输入，因为码字状态 $\rho_{x^n(m)}$ 在信道输入上是可分离的。只有在对张量积信道 $\mathcal{N}^{\otimes k}$ 进行编码时，纠缠才会发挥作用。目前已知存在一种信道，在编码器端利用纠缠比不利用纠缠在经典通信速率上更优。

2.2.4 解码 POVM

packing 引理中使用的解码 POVM 元素形式如下：
$\Lambda_m \equiv \left(\sum_{m’\in M} \Gamma_{m’}\right)^{-\frac{1}{2}} \Gamma_m \left(\sum_{m’\in M} \Gamma_{m’}\right)^{-\frac{1}{2}}$
$\Gamma_m \equiv \Pi_{\delta}^{B^n} \Pi_{\delta}^{B^n|x^n(m)} \Pi_{\delta}^{B^n}$

这种 POVM 被称为“平方根”测量，因为其形式特殊。它具有良好的分析性质，有助于获得平均错误概率期望的良好上界。但目前尚无有效的实现方法。

另一种解码方式是顺序解码，Bob 依次执行测量 ${\Pi_{\delta}^{B^n|x^n(m)}, I_{B^n} - \Pi_{\delta}^{B^n|x^n(m)}}$ 来确定传输的消息。这种解码策略也是集体测量，但效率较低。

2.2.5 其他证明方法

除了上述方法，还有基于弱典型性和恒定组成编码的两种替代证明方法：
- 弱典型性方法 ：码字 ${x^n(m)}$ 按照乘积分布 $p_{X^n}(x^n) = \prod_{i=1}^{n} p_X(x_i)$ 独立随机选择。总子空间投影算子为 $\sigma^{\otimes n}$ 的弱典型投影 $\Pi_{\delta}^{B^n}$，每个消息子空间投影为弱条件典型投影 $\Pi_{\delta}^{B^n|x^n(m)}$。根据弱典型性性质，满足平均版本 packing 引理的条件，从而证明速率 $I(X; B)$ 是可实现的。
- 恒定组成编码方法 ：选择典型类型类 $T_t$，从该类中独立均匀随机选择所有码字。通过验证 packing 引理的条件，可以证明使用恒定组成码时，速率 $I(X; B)$ 是可实现的。

2.3 逆定理

逆定理证明了正则化 Holevo 信息对经典通信容量的上界。假设 Alice 和 Bob 进行随机性分布任务，该任务的容量不小于经典通信容量。

Alice 首先准备最大相关状态 $\Phi_{MM’}$，使得随机性分布速率为 $\frac{1}{n} \log |M|$。经过编码、信道传输和解码后，Alice 和 Bob 共享状态 (20.19)。

通过以下不等式链可以证明正则化 Holevo 信息对随机性分布容量的上界：
$\log |M| = I(M; M’) {\Phi} \leq I(M; M’) {\omega} + f(|M|, \epsilon) \leq I(M; B^n)_{\omega} + f(|M|, \epsilon) \leq \chi(\mathcal{N}^{\otimes n}) + f(|M|, \epsilon)$

其中，$f(|M|, \epsilon) \equiv \epsilon \log |M| + (1 + \epsilon) h_2(\epsilon / [1 + \epsilon])$。

整理可得：
$\frac{1}{n} \log |M| (1 - \epsilon) \leq \frac{1}{n} \chi(\mathcal{N}^{\otimes n}) + \frac{1}{n} (1 + \epsilon) h_2(\epsilon / [1 + \epsilon])$

对于一系列 $(n, [\log |M|] / n, \epsilon_n)$ 经典通信协议，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\epsilon_n \rightarrow 0$，$\delta_n \rightarrow 0$，可实现速率 $C$ 必然满足 $C \leq \chi_{reg}(\mathcal{N})$。

总结

本文围绕量子信道的经典通信展开，详细介绍了经典通信和随机性分布这两个信息处理任务。经典通信中明确了 Alice 和 Bob 的操作流程、错误概率及通信速率的定义和计算方法。随机性分布任务虽资源实用性有限，但为证明经典容量定理提供了重要思路。

经典容量定理的证明分为直接编码定理和逆定理两部分。直接编码定理通过构造随机码、应用 packing 引理等方法，证明了正则化 Holevo 信息是可实现的经典通信速率，同时探讨了纠缠在编码中的作用以及不同的解码方式。逆定理则利用随机性分布任务，证明了正则化 Holevo 信息对经典通信容量的上界。

然而，目前对于量子信道经典容量的研究仍存在不足，如解码 POVM 的高效实现问题尚未解决。未来的研究可以朝着解决这些问题的方向发展，以进一步完善量子信道经典通信的理论和实践。

表格总结

任务类型	关键要点
经典通信	Alice 选消息、准备状态传输，Bob 用 POVM 解码，定义通信速率和错误概率，经典容量是可实现速率上界
随机性分布	Alice 准备共享随机状态，经编码、传输、解码后，状态应接近原始状态，容量不小于经典通信容量
直接编码定理	构造随机码，应用 packing 引理证明速率可实现，编码器端纠缠有作用，有不同解码方式
逆定理	利用随机性分布任务证明正则化 Holevo 信息是经典通信容量上界

mermaid 流程图

graph LR
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    A([开始]):::startend --> B(信息处理任务):::process
    B --> C(经典通信):::process
    B --> D(随机性分布):::process
    C --> E(直接编码定理):::process
    C --> F(逆定理):::process
    E --> G(编码过程):::process
    E --> H(应用packing引理):::process
    E --> I(纠缠作用):::process
    E --> J(解码POVM):::process
    E --> K(其他证明方法):::process
    F --> L(证明正则化Holevo信息上界):::process
    K --> M(弱典型性方法):::process
    K --> N(恒定组成编码方法):::process
    L --> O([结束]):::startend

3. 关键概念与公式总结

3.1 经典通信相关公式

名称	公式	说明
通信速率	(C \equiv \frac{1}{n} \log	M
正确消息概率	(Pr {M’ = m	M = m} = Tr[\Lambda_m\mathcal{N}^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})])
特定消息错误概率	(p_e(m) \equiv 1 - Pr {M’ = m	M = m} = Tr[(I - \Lambda_m)\mathcal{N}^{\otimes n}(\rho_m^{A’n})])
最大错误概率	(p_e^* \equiv \max_{m\in M} p_e(m))	所有消息中最大的错误概率

3.2 随机性分布相关公式

名称	公式	说明
共享状态	(\Phi_{MM’} \equiv \sum_{m\in M} \frac{1}{	M
最终状态	(\omega_{MM’} = \sum_{m,m’\in M} \frac{1}{	M
迹距离条件	(\frac{1}{2} |\Phi_{MM’} - \omega_{MM’}|_1 \leq \epsilon)	衡量最终状态与目标状态的接近程度

3.3 经典容量定理相关公式

名称	公式	说明
经典容量	(C(\mathcal{N}) = \chi_{reg}(\mathcal{N}))	量子信道的经典容量等于正则化 Holevo 信息
正则化 Holevo 信息	(\chi_{reg}(\mathcal{N}) \equiv \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{1}{k} \chi(\mathcal{N}^{\otimes k}))	反映了对信道经典容量的一种刻画

4. 不同证明方法对比

4.1 直接编码定理不同证明方法对比

证明方法	码字选择方式	投影算子选择	满足条件	优点	缺点
基于强典型性	根据“修剪”分布 (p_{X’^n}’(x^n)) 选择	强典型投影 (\Pi_{\delta}^{B^n}) 和强条件典型投影 (\Pi_{\delta}^{B^n	x^n})	满足 packing 引理四个条件	理论基础扎实，与典型性理论紧密结合
弱典型性方法	按乘积分布 (p_{X^n}(x^n) = \prod_{i=1}^{n} p_X(x_i)) 独立随机选择	弱典型投影 (\Pi_{\delta}^{B^n}) 和弱条件典型投影 (\Pi_{\delta}^{B^n	x^n(m)})	满足平均版本 packing 引理条件	证明相对简洁
恒定组成编码方法	从典型类型类 (T_t) 中独立均匀随机选择	强典型投影 (\Pi_{\delta}^{B^n}) 和强条件典型投影 (\Pi_{\delta}^{B^n	x^n(m)})	验证 packing 引理条件	与实际编码情况联系紧密

4.2 mermaid 流程图：不同证明方法流程对比

graph LR
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    A([直接编码定理证明]):::startend --> B(基于强典型性):::process
    A --> C(弱典型性方法):::process
    A --> D(恒定组成编码方法):::process
    B --> B1(选择码字):::process
    B --> B2(确定投影算子):::process
    B --> B3(验证 packing 引理条件):::process
    C --> C1(按乘积分布选码字):::process
    C --> C2(确定弱投影算子):::process
    C --> C3(验证平均 packing 引理条件):::process
    D --> D1(从类型类选码字):::process
    D --> D2(确定强投影算子):::process
    D --> D3(验证 packing 引理条件):::process
    B3 --> E(证明速率可实现):::process
    C3 --> E
    D3 --> E
    E --> F([结束]):::startend

5. 实际应用与挑战

5.1 实际应用

• 量子通信网络 ：量子信道的经典通信容量研究有助于设计更高效的量子通信网络，提高信息传输的可靠性和速率。例如，在量子卫星通信中，合理利用经典通信容量可以优化数据传输方案，确保地面站和卫星之间的稳定通信。
• 量子密码学 ：经典通信在量子密码学中也起着重要作用。在密钥分发过程中，需要通过经典信道传输一些辅助信息，了解量子信道的经典容量可以更好地保障密钥分发的安全性和效率。

5.2 面临挑战

• 解码 POVM 实现难题 ：目前解码 POVM 缺乏有效的实现方法，这限制了理论成果在实际中的应用。例如，“平方根”测量虽然在理论上有良好的分析性质，但实际操作中难以实现。
• 信道特性复杂性 ：实际量子信道的特性非常复杂，可能存在噪声、干扰等多种因素，这使得准确计算经典容量变得困难。需要进一步研究如何在复杂信道环境下应用现有的理论成果。

5.3 mermaid 流程图：实际应用与挑战关系

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    A([量子信道经典通信]):::startend --> B(实际应用):::process
    A --> C(面临挑战):::process
    B --> B1(量子通信网络):::process
    B --> B2(量子密码学):::process
    C --> C1(解码 POVM 实现难题):::process
    C --> C2(信道特性复杂性):::process
    B1 --> D(提高通信效率):::process
    B2 --> D
    C1 --> E(限制实际应用):::process
    C2 --> E
    D --> F(推动发展):::process
    E --> F
    F --> G([未来研究方向]):::startend

6. 未来展望

6.1 解决解码 POVM 实现问题

未来的研究可以集中在开发新的技术和算法，以实现解码 POVM 的高效实现。例如，结合量子计算技术，探索利用量子算法来实现复杂的测量操作，从而突破目前的技术瓶颈。

6.2 适应复杂信道环境

针对实际量子信道的复杂性，需要进一步研究如何在噪声、干扰等复杂环境下准确计算和提高经典通信容量。可以采用自适应编码和纠错技术，根据信道状态实时调整编码方案，以提高通信的可靠性和效率。

6.3 拓展应用领域

随着量子技术的不断发展，量子信道的经典通信有望在更多领域得到应用。例如，在量子云计算、量子传感器网络等领域，经典通信可以作为数据传输和控制的重要手段，未来需要深入研究如何在这些新领域中充分发挥量子信道经典通信的优势。

总结

本文全面探讨了量子信道经典通信的相关内容，包括信息处理任务、经典容量定理的证明、不同证明方法对比、实际应用与挑战以及未来展望。经典通信和随机性分布作为信息处理的重要任务，为理解量子信道的特性提供了基础。经典容量定理的证明从正反两个方面确定了正则化 Holevo 信息与经典通信容量的关系。不同的证明方法各有优劣，为研究提供了多种思路。

在实际应用中，量子信道经典通信在量子通信网络和量子密码学等领域具有重要价值，但也面临着解码 POVM 实现难题和信道特性复杂性等挑战。未来的研究应致力于解决这些问题，拓展应用领域，推动量子信道经典通信技术的不断发展。

表格总结：整体内容梳理

部分	主要内容
信息处理任务	介绍经典通信和随机性分布的流程、定义和相关公式
经典容量定理	包括直接编码定理和逆定理的证明，确定经典容量与正则化 Holevo 信息的关系
不同证明方法对比	对比直接编码定理的三种证明方法的特点
实际应用与挑战	阐述实际应用领域和面临的挑战
未来展望	提出解决问题的方向和拓展应用的思路