10、图论中的树分解与顶点覆盖加权斯坦纳树问题研究

图论中的树分解与顶点覆盖加权斯坦纳树问题研究

强树宽度相关内容

在图论的研究中，强树宽度是一个重要的概念。有定理表明，排列图具有强树宽度 1，并且可以在线性时间内找到相应的树分解。然而，一般来说，确定给定图 $G$ 是否允许具有强宽度 $\rho$（$\rho \geq 1$）的树分解是一个 NP 完全问题。

当一个顶点 $v$ 是一个包（bag）的中心时，寻找分解的难度部分在于确定哪个连通分量 $C \in C_G[v]$ 将被哪个相邻包 $N_G[u]$ 覆盖。例如，如果对于两个顶点 $u$ 和 $w$，$N_G[u]$ 和 $N_G[w]$ 与 $C$ 相交，并且它们是同一分解 $T$ 中的包，那么在 $T$ 中 $N_G[u]$ 和 $N_G[w]$ 不能被 $N_G[v]$ 分隔。此外，如果 $u$ 与 $v$ 相邻，$N_G[u]$ 可能会与多个连通分量相交，这会导致潜在的指数级组合情况。

路径分解是树分解的一种特殊情况，其中包形成一条路径而不是具有多个分支的树。如果一个图允许具有（强）宽度 $\rho$ 的路径分解，那么该图具有（强）路径宽度 $\rho$。对于具有有界路径宽度的图，可以在多项式时间内找到带宽问题和线失真问题的常数因子近似解。

当我们想要计算给定图是否允许具有强宽度 1 的路径分解 $P$ 时，在 $P$ 中与包 $N_G[v]$ 相邻的包最多有两个。因此，对于每个 $v$，最多有二次方数量的组合。由此引出一个猜想：图的强路径宽度可以在多项式时间内计算。

另一个问题是有界的强树宽度是否会为图的树宽度提供一个下界。也就是说，是否存在一个常数 $c$，使得对于任何图 $G$，$stb(G) \leq c \cdot