17、加权直系同源和旁系同源关系的修正

加权直系同源和旁系同源关系的修正

1. 树与直系同源关系

在生物学研究中，图和树是描述生物进化关系的重要工具。
- 图与树的基本概念 ：一个图 (H) 表示为 (H = (V_H, E_H))，其中 (V_H) 是顶点集（若 (H) 是树，则称为节点集），(E_H) 是边集。若 (H) 是树，度为 1 的节点是叶子节点。所有考虑的树都是有根二叉树。对于集合 (X)，树 (T) 的叶子集 (L(T)) 与 (X) 存在一一对应关系。对于树 (T) 的内部节点 (u)，以 (u) 为根的子树记为 (T_u)，其叶子集 (L(T_u)) 称为 (u) 的进化枝。若节点 (u) 在节点 (v) 到根的路径上（包含 (u) 本身），则 (u) 是 (v) 的祖先。节点 (u) 和 (v) 的最近共同祖先（lca）记为 (lca_T(u, v))，即距离根最远的共同祖先。对于集合 (U \subseteq V(T))，(lca_T(U)) 同理定义。
- 物种树与基因树 ：物种树 (S) 表示物种集合 (\Sigma) 的有序物种形成事件，内部节点是物种形成事件时刻的祖先物种，其孩子节点是新的后代物种，这里假设物种树是二叉树。基因家族 (\Gamma) 是一组基因，伴有函数 (s : \Gamma \to \Sigma)，将每个基因映射到其对应的物种。基因家族 (\Gamma) 的进化历史可以用节点标记的基因树表示，内部节点表示事件（物种形成或复制）时刻的祖先基因，并相应标记为物种形成（Spec）或复制（Dup）。形式上，(\Gamma) 的 DS - 树是一对 ((G, ev))，其中 (G) 是树，(L(G) = \Gamma)，(