18、加权直系同源和旁系同源关系的校正

加权直系同源和旁系同源关系的校正

1. 图校正最大化变体的多项式时间近似方案

在图校正问题中，我们考虑互补的最大化问题，即最大化原始图和校正图之间的保守性。尽管最小化和最大化变体目标相同，但从近似角度来看，它们并不等价。

对于无权图，我们给出对应于 MinWES 的最大化版本的正式表述——最大可满足性编辑（MaxES）：
- 输入 ：关系图 $R = (V_R, E_R)$；
- 输出 ：通过边编辑从 $R$ 得到的可满足关系图 $R’ = (V_R, E_{R’})$，使得其值 $|E_R \cap E_{R’}| + |(\overline{E_R} \cap \overline{E_{R’}})|$ 最大。

给定关系图 $R$，MaxES 在实例 $R$ 上的解 $R’$ 的值称为 $R’$ 的一致性值。

引理 6 ：给定关系图 $R$，MaxES 在实例 $R$ 上的最优解的一致性值至少为 $\frac{n^2}{8}$。
- 证明概要 ：考虑两种“极端”解，要么使来自两个不同物种的所有基因成为直系同源物，要么使所有基因成为旁系同源物。在 $R$ 中，至少一半的基因是直系同源物或者至少一半的基因是旁系同源物。因此，一种极端解至少保留了总关系数的一半，即 $\frac{\binom{n}{2}}{2} > \frac{n^2}{8}$。详细证明见附录。

引理 6 几乎直接给出了一个 $\frac{1}{2}$ 近似（即保留至少与最优解一半数量的关系）