28、高效双尺寸模乘法与有限域快速幂运算

高效双尺寸模乘法与有限域快速幂运算

在当今的密码学领域，双尺寸模乘法和有限域的幂运算有着广泛的应用。下面将详细介绍双尺寸模乘法的优化算法和有限域中基于高斯周期的快速幂运算方法。

双尺寸模乘法优化

在模乘法的计算中，有一个重要的引理。若 $0 < xy ≤(z - 1)^2$，对于任意非负的 $\beta$，有：
$\lfloor \frac{xy}{z + \beta} \rfloor ≤ \lfloor \frac{xy}{z} \rfloor ≤ \lfloor \frac{xy}{z + \beta} \rfloor + \beta$

证明过程如下：
- 因为 $z < z + \beta$，所以 $\frac{xy}{z + \beta} < \frac{xy}{z}$，进而可得 $\lfloor \frac{xy}{z + \beta} \rfloor ≤ \lfloor \frac{xy}{z} \rfloor$。
- 对于第二个不等式，$\frac{xy}{z} = \frac{xy}{z + \beta} (1 + \frac{\beta}{z}) ≤ \frac{xy}{z + \beta} + \frac{(z - 1)^2\beta}{(z + \beta)z} < \frac{xy}{z + \beta} + \beta$，所以 $\lfloor \frac{xy}{z} \rfloor ≤ \lfloor \frac{xy}{z + \beta} \rfloor + \lceil\beta\rceil = \lfloor \frac{xy}{z + \beta} \rfloor + \beta$。 <