9、数学中的模运算、群与有限域知识详解

数学中的模运算、群与有限域知识详解

1. 模运算基础

模运算在数学和计算机科学等领域有着广泛的应用。下面我们来详细了解模运算的几个重要概念。

1.1 模逆元

模逆元是模运算中的一个重要概念。对于整数 (a) 和 (m)，模逆元 (b) 存在的条件是 (a) 和 (m) 互质，即它们的最大公约数 (\gcd(a, m) = 1)。若 ((a \times b) \bmod m = 1)，则 (b) 就是 (a) 模 (m) 的逆元。

示例 ：当 (a = 5)，(m = 7) 时，因为 ((5 \times 3) \bmod 7 = 1)，所以 3 是 5 模 7 的逆元。

1.2 模幂运算

求 (a^b \bmod m) 的值就是模幂运算。通常有递归和迭代两种计算方法。

示例 ：当 (a = 5)，(b = 2)，(m = 7) 时，((5^2) \bmod 7 = 25 \bmod 7 = 4)。

1.3 同余关系

给定一个大于 1 的整数 (n)（称为模数），如果 (n) 能整除两个整数 (a) 和 (b) 的差（即存在整数 (k) 使得 (a - b = kn)），则称 (a) 和 (b) 模 (n) 同余，记作 (a \equiv (b \bmod n))。

同余关系具有以下性质：
- 自反性 ：(a \equiv a (\bmod n))
- 对称性