17、高效蒙哥马利乘法与位转发技术在模幂运算中的应用

高效蒙哥马利乘法与位转发技术在模幂运算中的应用

1. 高基数蒙哥马利乘法

1.1 减少延迟的方法

在高基数蒙哥马利乘法中，可利用MMM算法的特性进行相关演示。算法6中有两个进位c1和c2，它们从之前的LM传播到当前的LM。在改进的LSOS算法6中，第1个内循环在步骤3到步骤6进行演示，在第2个内循环的最后一次迭代后，从步骤9到步骤11，我们定义us = c2，并且rs - 1 = us + c1。为了通过当前的LM计算Ri，需要下一个部分结果r(n) - 1的LSW，它由第2个内循环的下一个LM计算得出。

这种最小化延迟的方法通过先进的硬件设计消除了一个额外的时隙，该硬件设计可以控制算法6步骤12所导致的嵌套问题。这种方法具有更集成的流程，且没有显著的开销，从而减少了延迟。同时，逻辑乘法器的数量(σ)与迭代次数s成反比，因此这种实现方式节省了迭代次数。

1.2 蒙哥马利阶梯模乘法

蒙哥马利阶梯用于ECC的增强方法将NIST素数的特性保留并分为两部分：
1. 可扩展乘法（SCAM）
2. 模约简（MRUC）

如图8.16所示，这两部分可以并行工作，采用乘 - 约简的方法可以更好地安排操作以获得更好的性能。这种方法使我们能够并行执行蒙哥马利阶梯模乘法，通过将蒙哥马利阶梯作为内部机制，在ECC中既提高了性能，又增强了对侧信道攻击的安全性。

观察发现，约简过程比乘法过程落后一个时隙。即，在时间Ti，如果乘法过程正在执行第i次迭代，那么约简过程将同时执行第(i - 1)次迭代。图8.17所示的高基数可扩展乘法算法7能够处理不同长度的操作数，从而支持5种NIST素数。