26、有限域多项式上的高效模约简与乘法算法

有限域多项式上的高效模约简与乘法算法

1. 多项式除法与商计算

在IFq[x]中，我们可以进行如下的多项式除法表示。对于多项式$U(x)$和$x^p$，有：
$\frac{U(x)}{x^p} = \Phi_{\alpha}(x) + \frac{\phi_{p - 1}(x)}{x^p}$
其中，$\Phi_{\alpha}(x)$是商，$\phi_{p - 1}(x)$是余数。

同样，对于$x^{p + \beta}$和$N(x)$，有：
$\frac{x^{p + \beta}}{N(x)} = \Lambda_{\beta}(x) + \frac{\lambda_{p - 1}(x)}{N_p(x)}$
这里，$\Lambda_{\beta}(x)$是商，$\lambda_{p - 1}(x)$是余数。

进而可以得到$Q(x)$的表达式：
$Q(x) = \left\lfloor\frac{U(x)}{x^p} \cdot \frac{x^{p + \beta}}{N(x)} \cdot x^{\beta}\right\rfloor$
经过一系列推导，当$\beta \geq \alpha$时，第二项为零，此时：
$Q(x) = \left\lfloor\Phi_{\alpha}(x)\Lambda_{\beta}(x)x^{\beta}\right\rfloor = \left\lfloor\left\lfloor\Phi_{\alpha}(x)\right\rfloor\left\lfloor\Lambda_{\beta}(x)\right\rfloor x^{\beta}\right\rfloor$