24、高效构建密码学强椭圆曲线及有限域乘法算法

高效构建密码学强椭圆曲线及有限域乘法算法

椭圆曲线构建算法

在密码学中，椭圆曲线的应用十分广泛，而构建密码学强椭圆曲线是其中的关键步骤。

设 $\Delta$ 为负整数，满足 $\Delta \equiv 0, 1 \pmod{4}$，$O$ 是判别式为 $\Delta$ 的虚二次序，记为 $O_{\Delta}$。设 $p$ 是一个素数，且存在正整数 $t, y$ 使得 $t^2 - \Delta y^2 = 4p$。

利用复乘法，可以构建在 $IF_p$ 上的椭圆曲线 $E_{1,p}$ 和 $E_{2,p}$，它们的自同态环为 $O$，且曲线的阶分别为 $|E_{1,p}(IF_p)| = p + 1 - t$ 和 $|E_{2,p}(IF_p)| = p + 1 + t$。构建步骤如下：
1. 设 $H \in \mathbb{Z}[X]$ 是 $j(\frac{\Delta + \sqrt{\Delta}}{2})$ 的最小多项式，其中 $j = 12^3J$，$J$ 是克莱因模函数。在模 $p$ 意义下，多项式 $H$ 可分解为线性因子。设 $j_p$ 是 $H \bmod p$ 的一个零点。
2. 假设 $\Delta < -4$，则 $j_p \notin {0; 1728}$。设 $s_p$ 是模 $p$ 的二次非剩余。计算 $\kappa_p = \frac{j_p}{1728 - j_p}$，$(a_p, b_p) = (3\kappa_p, 2\kappa_p)$。
3. 则 ${E_{1,p}, E_{2,p}} = {(a_p, b_p), (a_ps_p^2, b_ps_p^3)}$。

构建完成