扩展欧几里得算法(Bezout恒等式)求有限域上多项式的乘法逆元

前言

最近在复习现代密码理论中的AES，AES中的字节变换的核心操作就是求$GF(2^8)$上的多项式逆元，这个问题困扰了我一段时间，今天终于得到解决，其实计算方式和数论中求两个数的Bezout算法是一样的，这里感谢数论老师教给我们的用矩阵行初等变换的方法求Bezout，进而求逆元。

Bezout恒等式

设$a,b\in \mathcal{Z}$，则$a,b$的最大公约数可以表示为
$$gcd(a,b)=d=sa+tb$$
把$d=sa+tb$称作Bezout恒等式。

矩阵的行初等变换求解Bezout恒等式

这里以一个具体的实例来说明,求$gcd(5,177)$。

• 先把欲求的两个数写成如下的矩阵形式,即是以5和17为第一列，后面拼一个单位矩阵。
  $$\left[\begin{array}{ccc}177& 1& 0\\ 5& 0& 1\end{array}\right]$$

• 将上述矩阵行初等变换至5和17这两个位置任意一个为0即可，另一个位置的值就是a和b的最大公约数。
  $$[\begin{array}{ccc}0& \ast & \ast \\ 1& -2& 71\end{array}$$