50、基于最坏情况复杂度假设的密码学函数

基于最坏情况复杂度假设的密码学函数

1. 引言

晶格问题被认为是构建难以破解的密码学函数的潜在计算难题来源。晶格基密码学函数的显著特点是，基于底层晶格问题在最坏情况下计算困难的假设，它们可以被证明是安全的（即平均而言难以破解）。

传统上，在密码学中，晶格主要被用作密码分析的算法工具。自 80 年代初 LLL 基约化算法发展以来，晶格被用于攻击各种公钥密码系统。然而，LLL 算法在提高近似因子方面进展有限，目前最好的多项式时间（随机化）晶格近似算法的近似因子仅比 LLL 算法有适度改进。因此，合理推测不存在多项式时间算法能在晶格秩的多项式因子内近似晶格问题。

90 年代末，Ajtai 发现了某些晶格近似问题的最坏情况和平均情况复杂度之间的联系，这一发现重新引发了对晶格问题计算复杂度的关注。这种联系的重要性在于晶格在设计安全密码系统方面的潜在应用。此前，所有已知的密码学函数都依赖于平均情况复杂度假设，而 Ajtai 的发现首次表明，基于晶格问题在最坏情况下难以处理这一较弱假设，可以得到平均情况下困难的问题（即安全的密码学函数）。

此后，相关研究在多个方面取得了进展：
- 确定更弱的最坏情况假设，仍能提炼出平均情况的困难性。
- 提高晶格基函数在密钥大小和计算时间方面的效率。
- 构建比简单单向函数更复杂的密码学原语，如公钥加密方案、身份识别协议、数字签名等。

2. 晶格基础概念

2.1 基本定义

• 晶格 ：晶格是 n 个线性无关向量 (b_1, \cdots, b_n) 的所有整数线性组合的集合 (L(b_1, \cd