3、格算法与多项式因式分解的奇妙之旅

blue

于 2025-08-28 12:22:45 发布

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分类专栏： LLL算法：格密码的基石文章标签：格算法多项式因式分解 LLL算法

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格算法与多项式因式分解的奇妙之旅

在数学与计算机科学的交叉领域中，有两个重要的研究方向：多项式因式分解和格算法。它们不仅有着各自独特的魅力，还在某些方面有着意想不到的联系。

多项式因式分解的突破

曾经，在有理数域上进行多项式因式分解被认为无法在多项式时间内完成。然而，一个基础约化算法的出现改变了这一认知。I. Smeets指出这个算法暗示了在 (Q[X]) 中存在多项式时间的因式分解算法。起初，Hendrik Lenstra怀疑维持无平方性所需的素数 (p) 是问题所在，但他证明了可以对 (p) 进行界定，使得Berlekamp算法能在多项式时间内确定性地运行。正如Arjen Lenstra所说：“我们突然发现多项式可以在多项式时间内进行因式分解这一奇怪的结果。”

1982年5月12日，经过五个月对算法的打磨、分析的细化以及大量的信件交流，Hendrik Lenstra写信给Lovász，提议将论文投给纯数学期刊而非计算机科学期刊。他认为这样能最大程度地从审稿人那里得到有价值的意见，并且他还希望借此让纯数学家更多地关注算法复杂度分析这一领域。最终，论文以多项式因式分解这一意外结果为标题。Peter van Emde Boas在Caen询问听众听到LLL算法时想到的是“基约化”还是“多项式因式分解”，结果大家都选择了“基约化”，也许从后见之明来看，标题改成“一种新的基约化算法”会更合适。1982年7月2日，Hendrik Lenstra将文章提交给《Mathematische Annalen》，文章很快通过了审稿流程并于当年发表，该算法产生了巨大的影响，到2007年9月，这篇文章在ISI Web of Knowledge上已有486次引用。