25、有向图形的多重集、集合和数值可解码码

有向图形的多重集、集合和数值可解码码

在信息编码领域，传统的编码概念要求编码消息能够被唯一解码，即必须恢复出确切的码字序列。然而，在某些情况下，只恢复码字的多重集、集合或数量可能就足够了，这就引出了多重集可解码性（MSD）、集合可解码性（SD）和数值可解码性（ND）等概念，而原始的精确可解码性则被称为唯一可解码性（UD）。

1. 研究背景

对经典单词和可变长度单词代码的扩展研究一直是一个热门领域。例如，有人引入了多联骨牌代码，研究了二维矩形图片以及树代码等。不过，当研究转移到二维平面时，与可解码性相关的属性往往会丢失，特别是对于多联骨牌和类似结构，可解码性测试通常是不可判定的。

为了解决这个问题，研究人员引入了有向图形的概念，它被定义为带有指定起点和终点的标记多联骨牌，并配备了连接操作，该操作可以使用合并函数来解决可能的冲突。这种设置类似于符号像素图片，并且允许自然地定义连接操作。研究表明，验证给定的有限有向图形集是否为 UD 代码是可判定的，这与之前提到的图片模型相比是一个显著的变化，有助于在数据库中对图片进行编码和索引。然而，没有合并函数的有向图形模型，其 UD 测试仍然是不可判定的。

2. 有向图形的定义与操作

• 有向图形的定义 ：设 $\Sigma$ 是一个有限的非空字母表，$D \subseteq Z^2$ 是有限且非空的，$b, e \in Z^2$，$\ell: D \to \Sigma$。四元组 $f = (D, b, e, \ell)$ 是一个有向图形（在 $\Sigma$ 上），其中 $dom(f) = D$ 是定义域，$begin(f) = b$ 是起点，$end(