14、多边形遍历与广义Mycielskian图的超级连通性算法解析

多边形遍历与广义Mycielskian图的超级连通性算法解析

多边形遍历近似算法

在多边形遍历问题中，我们旨在找到一种高效的算法来解决相关的路径规划问题。当所有输入为有理数时，我们可以利用PAT（一种特定的方法）来构建正确的FPTAS（完全多项式时间近似方案）算法。

算法效率分析

该算法的运行时间主要取决于构建图的规模以及在图中找到从起点 ( s ) 到终点 ( t ) 的最短路径的时间。
- 计算伪近似路径复杂度 ：对于固定的 ( \epsilon ) 和 ( R )，每条边上有 ( O(k / \epsilon) ) 个点。若问题的复杂度为 ( n )（即所有多边形和围栏的顶点数），则图中顶点数为 ( O(nk / \epsilon) )。设 ( f_i (0 \leq i \leq k) ) 为 ( F_i ) 内的顶点数，我们可以在 ( f_i^2 ) 时间内为每个 ( F_i ) 构建可见性图。由于 ( f_i ) 的总和为 ( O(nk / \epsilon) )，所以构建整个可见性图的时间为 ( O(n^2k^2 / \epsilon^2) )。图的顶点数为 ( O(nk / \epsilon) )，运行Dijkstra算法的时间也为 ( O(n^2k^2 / \epsilon^2) )。因此，我们可以在 ( O(n^2k^2 / \epsilon^2) ) 时间内得到伪近似路径。
- 获得 ( \epsilon ) -近似路径 ：使用PAT方法的几何搜索来获得 ( \epsilon ) -近似路径，我们需要运行伪近似算法 ( O(\log \log(R^