44、分布式网络与多项式根求解算法研究

分布式网络与多项式根求解算法研究

分布式网络中的领导者选举与广播树形成

在分布式网络中，领导者选举和广播树形成是非常重要的问题。对于直径为 2 的 n 节点匿名网络，存在一种确定性（显式）的领导者选举算法。该算法发送 $O(n \log \Delta)$ 条消息，并在 $O(\log \Delta)$ 轮内终止，其中 $\Delta$ 是网络的最大度。

下面我们来详细分析这个领导者选举算法的原理。假设网络是一个直径为 2 的图，如果存在两个节点 $l_1$ 和 $l_2$ 都声称在其邻居中具有最高优先级。由于图的直径为 2，那么 $l_1$ 和 $l_2$ 之间至少应该有一个共同节点。这就意味着，这两个节点不可能同时在它们的邻居中都具有最高优先级，这是一个矛盾。所以，所有节点都会就唯一的领导者达成一致。

在确定了领导者之后，就可以进行广播树的形成。广播树形成算法（Algorithm 2）利用领导者选举算法（Algorithm 1）中使用的边，创建一个高度为 $O(\log \Delta)$ 的广播树。具体步骤如下：
1. 首先运行 Algorithm 1 选举领导者 $\ell$，每个节点同时记录其 $\Psi_v$（在算法执行过程中创建）。
2. $\ell$ 成为树 $T$ 的根节点，$\ell$ 向其所有邻居广播其 ID 作为邀请，其邻居成为树 $T$ 中 $\ell$ 的子节点。
3. 当树 $T$ 外还有节点时：
- 树 $T$ 中的每个节点 $v$ 向 $\Psi_v$ 中的节点广播其 ID。
- 如果不在树 $T$ 中的节点 $u$ 收到树 $T$ 中节点的 ID，则 $u$ 根据最高优先级节点（设为 $v$）接受邀