12、无环着色与度相关边重构数研究

无环着色与度相关边重构数研究

1. 无环着色问题

无环着色是图论中的一个重要问题，主要探讨如何用最少的颜色对图的顶点进行着色，使得图中不存在双色环。这里主要研究两个方面的无环着色问题：最大度为 5 的图的无环 4 - 着色问题和最大度为 7 的平面图的无环 4 - 着色问题。

1.1 最大度为 5 的图的无环 4 - 着色

判定一个图是否可以进行无环 4 - 着色的问题属于 NP 问题。为了证明其 NP 难度，将最大度为 4 的图的无环 3 - 着色的 NP 完全问题归约到最大度为 5 的图的无环 4 - 着色问题。
- 构造新图 ：设 $G$ 是最大度为 4 且有 $n$ 个顶点的无环 3 - 着色问题的实例图。取一个 $G_{2n - 1}$ 的副本，将 $G$ 的每个顶点与 $I(G_{2n - 1})$ 中的一个不同顶点通过一条边相连，得到最大度为 5 的图 $G’$。
- 证明等价性 ：
- 若 $G$ 存在无环 3 - 着色，颜色为 $c_1$、$c_2$、$c_3$，则可以构造 $G’$ 的无环 4 - 着色。将 $G$ 中顶点的颜色对应到 $G’$ 中相应顶点，用 $c_1$、$c_2$、$c_3$ 和 $c_4$ 对 $G_{2n - 1}$ 进行无环着色，使 $I(G_{2n - 1})$ 的顶点着 $c_4$ 色。假设得到的 $G’$ 的着色不是无环的，存在双色环 $C$，由于 $G$ 和 $G_{2n - 1}$ 都是无环着色，$C$ 必然包含连接边，所以 $C$ 上有顶点着 $c_4$ 色，且 $C$ 包含 $G$ 的一条边，其端点有 $c_1$