3、无限随机几何图与总顶点覆盖的参数化近似

无限随机几何图与总顶点覆盖的参数化近似

在数学和计算机科学领域，无限随机几何图和参数化近似算法是两个重要的研究方向。本文将深入探讨这两个主题，包括无限随机几何图中六边形度量的相关证明，以及总顶点覆盖问题的参数化近似算法。

无限随机几何图与六边形度量

在无限随机几何图的研究中，六边形度量起着关键作用。通过一系列的推理和证明，可以得出一些重要的结论。

首先，考虑直线(\ell_2)和(\ell_3)相交于点(p_7)，由此生成直线(\ell_7 \in F_1)。由于由(p_1)、(p_2)和(p_7)形成的三角形是由(0)、(p_1)和(p_2)形成的三角形的反射，所以(\ell_7)的方程为(a_1 \cdot x = 2r)。通过重复这个过程，可以得到所有直线(a_i \cdot x = z_1r + z_2)，其中(z_1, z_2 \in Z)，(i = 1, 2, 3)。

如果(r)是无理数，那么集合({z_1r + z_2 : z_1, z_2 \in Z})在(R)中是稠密的。这一结论可以通过鸽巢原理证明，从而完成引理的证明。

接下来证明定理2。设(f : V \to W)是一个步等距映射。根据引理2，存在指标集({1, 2, 3})的一个置换(\sigma)，使得(f)关于(\sigma)与直线族(F_i(0))（(i = 1, 2, 3)）一致。不失一般性，假设(\sigma)是恒等置换。假设(V)中有两个点的距离是无理数，不妨设其中一个点是原点。选择(B = {0, p} \subseteq V)，使得(d_{hex}(0, p))是无理数。根据引理4，直线集(L(B))在(R^2)中是稠密的。根据引理3，(f)尊重(L(