3、参数化计算几何：基于分解定理的算法设计

参数化计算几何：基于分解定理的算法设计

1. 引言

参数化复杂度是处理计算难题的重要算法范式。早期，该领域主要聚焦于图和网络相关问题，如今已逐渐渗透到计算几何和计算社会选择理论等领域。本文将探讨参数化计算几何领域的发展，重点介绍基于新图分解定理，为单位圆盘图设计高效参数化算法的方法。

在几何图（如平面图和单位圆盘图）上，许多图问题仍是NP完全问题，但通常比一般图上的问题更易处理。过去四十年，平面图上的许多图问题已被证明存在亚指数时间算法、亚指数时间参数化算法、线性核以及（高效）多项式时间近似方案。将平面图上的算法成功经验推广到其他几何图是很自然的想法，近年来，已有成功尝试将平面图上设计高效算法（近似、精确或参数化）的方法和技术扩展到单位圆盘图和地图图等几何图上。

本文将重点关注单位圆盘图，介绍各种新工具，主要是单位圆盘图的图分解定理，并展示其在设计高效参数化算法中的应用。

2. 预备知识

2.1 图的基本概念

• 本文考虑的所有图都是有限、无向且简单的。对于未明确定义的术语，使用标准符号。
• 对于图 $G$，其顶点集记为 $V(G)$，边集记为 $E(G)$。
• 对于顶点 $v \in V(G)$，其（开放）邻域 $N_G(v)$ 是所有与它相邻的顶点的集合，其闭邻域是 $N_G(v) \cup {v}$。
• 给定图 $G$ 的一条边 $e = xy$，图 $G/e$ 是通过收缩边 $e$ 得到的，即端点 $x$ 和 $y$ 被一个新顶点 $v_{x,y}$ 替换，该新顶点与 $x$ 和 $y$ 的旧邻居相邻（除了 $x$ 和 $y$）。