41、线性时间和多对数精度下对称张量的完全分解

线性时间和多对数精度下对称张量的完全分解

1. 引言

近年来，张量分解因其在信号处理、计算机视觉、化学计量学、神经科学等不同领域的应用而备受关注。许多学习算法都是通过张量分解的基本机制发展起来的，并且已经设计出了众多算法来解决张量分解问题，这些算法对输入张量有不同的假设，并且在效率和精度上也有不同的界限。

本文主要研究将任意对称 3 阶张量 $T \in \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n$ 近似唯一（最多经过排列和缩放）分解为一组秩一张量之和的算法问题。为了高效地实现这一目标，需要对秩一组件的“独立性”施加一定的限制，即假设秩一组件的形式为 $u_i \otimes u_i \otimes u_i$，其中 $u_i$ 是线性无关的。

当底层计算模型是精确实算术时，这个问题已经得到了很好的研究，但在有限精度算术的计算模型下，相关工作还比较少。有限精度算术模型的关键难点在于，该模型中的每一次算术运算都是近似进行的，并且存储的数字也可能存在一些误差。如果一个迭代算法可以在有限精度算术中使用多对数位来实现，那么它就被称为数值稳定的。本文的核心贡献是对一个数值稳定的算法进行了严格分析，该算法在输入规模上具有线性时间复杂度，它受到了 Jennrich 算法的启发。

2. 对称张量分解

设 $T \in \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n$ 是一个 3 阶对称张量，它可以看作是一个 3 维数组 $(T_{ijk})_{1\leq i,j,k\leq n}$，该数组在索引 $i, j, k$ 的所有 6