3、线性代数中的算子分解与范数

线性代数中的算子分解与范数

1. vec 映射

vec 映射在向量和算子之间建立了重要联系。对于 $u \in X$ 和 $v \in Y$，有特殊情况：
- 当 $v = 1$ 时，$vec(u) = u$；
- 当 $u = 1$ 时，$vec(v^*) = v$。

vec 映射是线性双射，意味着对于每个向量 $u \in X \otimes Y$，都唯一确定一个算子 $A \in L(Y, X)$，使得 $vec(A) = u$。同时，它还是等距映射，即对于所有 $A, B \in L(Y, X)$，有 $\langle A, B \rangle = \langle vec(A), vec(B) \rangle$。

vec 映射还有一些特定的恒等式，例如：
- $(A_0 \otimes A_1) vec(B) = vec(A_0 B A_1^T)$，适用于所有算子 $A_0 \in L(X_0, Y_0)$，$A_1 \in L(X_1, Y_1)$ 和 $B \in L(X_1, X_0)$。
- $Tr_Y(vec(A) vec(B)^ ) = A B^ $。
- $Tr_X(vec(A) vec(B)^*) = A^T B$。

这些恒等式在后续的计算和证明中非常有用。

2. 算子分解

2.1 谱定理

谱定理表明，每个正规算子都可以表示为投影到两两正交子空间的线性组合。具体来说，设 $X$ 是复欧几里得空间，$X \in L(X)$ 是正规算子，则存在正整数 $m$，不同的复数 $\lambda_1, \ldo