33、计数最小草图中的相变与最小链接 C 定向路径问题解析

计数最小草图中的相变与最小链接 C 定向路径问题解析

计数最小草图中的相变

在计数最小草图（Count - Min Sketch）中，误差情况会因不同的分布和状态而有所不同。在亚临界状态下，均匀分布呈现出最小的误差。然而，在超临界状态下，当不同键的数量相较于计数器的数量较大时，情况则相反，均匀分布呈现出最大的平均误差。

对于齐普夫分布（Zipf’s distribution），高频键基本上没有误差，而在超临界状态下，低频键都有相似的高估。这揭示了齐普夫分布在误差近似方面的另一种相变，发生在高频和低频元素之间，这对于准确检测流中的重击者（heavy hitters）有直接的应用。

最小链接 C 定向路径问题

问题描述

给定一个平面上的 C 定向不相交线段集合 $E = {e_1, \ldots, e_n}$，其中 C 是一个给定的有限方向集合，它能覆盖整个平面，同时给定两个点 $s$ 和 $t$。我们的目标是找到一个从 $s$ 到 $t$ 的最小链接 C 定向路径 $\pi$，该路径按顺序访问集合 $E$ 中的线段，并且其边的方向都在 C 中，边的数量最少。

更正式地说，C 是一个有限的方向集合，可以看作是以原点为中心的单位圆上的点。我们假设：
1. C 能覆盖平面，即对于平面上的任意两点 $p$ 和 $q$，存在一个两链接（有向）路径（或单链接路径）从 $p$ 到 $q$，且路径中边的方向都属于 C。
2. 对于任意方向 $c_i \in C$，其相反方向 $\overline{c_i}$ 也在 C 中。

路径要求为 C 定向的，这在某些情况下（如机械约束）是必要的，并且与