22、单边测试仿射子空间的技术与分析

单边测试仿射子空间的技术与分析

1. 基本概念与初步结论

设 $F$ 是一个有 $q = |F|$ 个元素的有限域，$B(F)$ 是所有布尔函数 $f: F^n \to {0, 1}$ 的集合。这里有几个重要的函数类定义：
- $d - R$ 类 ：若对于每个 $a \in F^{n - d}$，最多存在一个元素 $b \in F^d$ 使得 $f(a, b) = 1$，则称 $f \in B(F)$ 描述了一个结构良好的 $(n - d)$ 维单射关系，这类函数记为 $d - R$。当 $d = 0$ 时，$0 - R = B(F)$。
- $d - F$ 类 ：若对于每个 $a \in F^{n - d}$，恰好存在一个元素 $b \in F^d$ 使得 $f(a, b) = 1$，则称 $f \in B(F)$ 描述了一个结构良好的 $(n - d)$ 维双射关系，这类函数记为 $d - F$。特别地，当 $f$ 是常数 1 函数时，$f \in 0 - F$。
- $d - WSLS$ 类 ：若存在线性函数 $\varphi: F^{n - d} \to F^d$ 使得 $L = {(a, \varphi(a)) | a \in F^{n - d}}$，则称 $L \subseteq F^n$ 是一个结构良好的 $(n - d)$ 维线性子空间。若 $f^{-1}(1)$ 是这样的子空间，则称 $f \in B(F)$ 描述了一个结构良好的 $(n - d)$ 维线性子空间，这类函数记为 $d - WSLS$。

同时，还定义了函数间的距离：对于类 $