6、受初始解变化约束的独立集问题研究

受初始解变化约束的独立集问题研究

1. 问题背景与概述

在图论中，独立集问题是一个经典的组合优化问题。而BD - MaxIS（Bounded - Difference Maximum Independent Set）问题则是在独立集问题的基础上，加入了从初始解进行变化的约束条件。一般情况下，BD - MaxIS问题是NP难的，因为当$k \geq |S_0|$时，它包含了经典的最大独立集问题作为特殊情况。因此，我们主要关注BD - MaxIS在一些多项式时间可解的图类上的计算复杂度，如完美图、可比图、共可比图、二部图、弦图等。

主要研究结果如下：
|图类|计算复杂度|
| ---- | ---- |
|二部图|NP难|
|可比图|NP难|
|完美图|NP难|
|共可比图|$O(k|V|^2)$时间可解|
|区间图|$O(k|V| + |E|)$时间可解|
|凸二部图|$O(k|E|)$时间可解|
|弦图|$O(k^2(|V| + |E|)^2)$时间可解|

2. 图的基本概念与符号表示

• 图的定义 ：设$G = (V, E)$是一个简单（无多重边和自环）、无权且无向的图，其中$V$是顶点集，$E$是边集。有时用$V(G)$和$E(G)$分别表示图$G$的顶点集和边集。对于$G = (V, E)$，除非另有说明，$n$和$m$分别表示$V$和$E$的基数。顶点$u$和$v$之间的边用${u, v}$表示，此时称顶点$u$和$v$相邻。图$\overline{G}$表示$G$的补图，即$\overline{G} = (V,