13、独立成分分析：原理、方法与气候应用

独立成分分析：原理、方法与气候应用

1. 引言

气候系统具有高度复杂性，大气或气候变量（如地表温度、海平面压力）包含来自不同源头（如海面温度、太阳活动、火山爆发等）的非线性贡献。在大气研究中，分离这些不同源头的影响是一项具有挑战性的任务，这在模型比较和验证时尤为重要。一种简化方法是假设观测变量是不同独立源的混合，目标是找到分离这些独立源影响的方法，这本质上是一个模式识别问题，可通过对多元数据进行合适的线性变换来解决。

EOF/PCA 是一种通过线性变换 (S = WX) 来表示数据的方法，它基于二阶矩（协方差矩阵），得到不相关的变量。而独立成分分析（ICA）是一种基于高阶矩的替代方法，是本文的重点。

2. 背景与定义

ICA 与 PCA 类似，但将不相关性替换为（统计）独立性。历史上，有两个问题与 ICA 相关，即信号的盲反卷积和盲源分离。

2.1 盲反卷积

信号处理中的经典问题是根据时不变线性滤波器的输出 (y_n) 恢复未知输入信号 (x_n)。滤波器输出 (y_n = \sum_{k \in N} f_k x_{n - k})，经典反卷积通过 (z_n = \sum_{k} g_k y_{n - k}) 恢复信号。理想的反卷积是存在常数 (\alpha) 和整数 (m_0) 使得 (z_n = \alpha x_{n - m_0})。

当卷积滤波器未知时，就是盲反卷积问题。在信号 (x_k) 为独立白噪声的特定情况下，可使用样本估计的 (X) 的高阶矩来解决该问题，例如通过最大化峰度（如 (p = 4)，(q = 2) 时的情况），并使用基于梯度的方法求解。

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