11、因子分析：原理、方法与应用

因子分析：原理、方法与应用

1. 引言

在数据分析领域，降维是一项关键任务，旨在从高维数据中提取关键信息，减少数据的复杂性。EOF分析（经验正交函数分析）或PCA（主成分分析）及其相关方法是常见的探索性技术，它们通过寻找与最大方差相关的少量模式来降低系统的维度，但这些方法并未涉及明确的概率模型。

因子分析（Factor Analysis，FA）是一种基于适当统计模型的多元方法，它试图通过一组变量或因子来解释变量之间的观测协方差。假设每个观测变量是这些因子的线性组合加上随机误差，因子与原始变量之间的关系为观测关联提供了可能的解释。

FA与PCA在某些方面具有相似性，如降维以及确定显著的变异性或协变性模式。FA大约与Pearson的PCA工作同时被Spearman提出，后来由Hotelling正式进行了数学表述。实际上，EOF/PCA方法可以被视为FA的一个特例。

2. 因子模型

2.1 背景

假设我们有一个多元时间序列$x_t$，$t = 1, 2, \cdots, n$，其中每个$x_t$由$p$个变量组成，即$x_t = [x_{t1}, \cdots, x_{tp}]^T$。假设该时间序列的均值为零，其协方差矩阵为$\Sigma = E[x_tx_t^T]$，且该矩阵满秩。

2.2 模型定义与术语

为了解释多元时间序列中观测到的协方差，假设存在$m$个隐藏变量或因子$y_t = (y_{t1}, y_{t2}, \cdots, y_{tm})^T$，它们的线性组合可以解释时间序列$x_t$中的观测变异性。这可以表示为：
$x_t = \Lambda y_t