14、电磁学的拓扑方法

电磁学的拓扑方法

1. 引言

拓扑学关注那些在连续变形下不变的性质。如果一个物体可以通过弯曲、拉伸、扭曲等连续变形或映射变成另一个物体，那么这两个物体在拓扑上是等价的，即同胚。不过，拓扑学中不允许折叠（使原本远离的点直接接触或重叠）和切割（除非之后重新粘合以恢复原有的连续关系）。

拓扑学的连续变形通常用微分方程来描述，而在变换下守恒的量则常用体现代数运算的微分方程来描述，这些代数运算能保持代数结构不变。伽罗瓦最早给出了代数方程能用根式求解的条件，这一分支数学后来被称为伽罗瓦理论或群论。

从 17 世纪的莱布尼茨、18 世纪的欧拉，到 19 世纪的黎曼、利斯廷和莫比乌斯，再到 20 世纪的庞加莱，拓扑学被用于解答物理解释中最基本的问题。例如，运动的微分方程并非最基本的，因为它们依赖于需要通过群论考虑来证明的边界条件。或许，群论才是最基本的。

群论为基本变换规则提供了简洁的表示。但最终判断一个数学群结构能否应用于物理情况的是该物理情况的拓扑结构，拓扑结构决定并证明了群变换的合理性。因此，最基本的物理描述是对情况拓扑结构的描述。知道了拓扑结构，群论描述才合理，运动方程也能以特定的微分方程形式被定义。

微分方程描述系统及其演化，群对称原理总结了不变性和独立于系统特定动力学的自然规律。连续的对称变换会导致守恒定律。19 世纪的索菲斯·李证明了求解常微分方程的各种特殊方法都是基于微分方程在连续对称群下不变性的积分程序的特殊情况，这些群被称为李群。一个微分方程组的对称群能将系统的解变换为其他解，这种不变性导致了独立和因变量空间上的微分同胚，允许解到解的映射。诺特定理进一步明确了变分积分的对称群与其相关的欧拉 - 拉格朗日方程的性质之间的关系，其重要结果包