以下是关于原码、反码、补码、移码的定义及其在8位机器字长下的示例，并结合定点数、浮点数和校验码的相关知识进行系统说明

在计算机系统中，数据的表示与编码方式是基础且关键的内容。以下是关于原码、反码、补码、移码的定义及其在8位机器字长下的示例，并结合定点数、浮点数和校验码的相关知识进行系统说明。

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一、编码方式（以8位机器字长为例）

1. 原码（True Form）

   • 定义：最高位为符号位（0表示正，1表示负），其余位表示数值的绝对值。
   • 示例：
     +1 的原码：00000001
     -1 的原码：10000001
   • 缺点：0有两种表示（+0: 00000000，-0: 10000000），不利于运算。

2. 反码（One’s Complement）

   • 定义：正数反码同原码；负数反码为符号位不变，其余位按位取反。
   • 示例：
     +1 的反码：00000001
     -1 的反码：11111110
   • 仍存在±0问题（+0: 00000000，-0: 11111111）。

3. 补码（Two’s Complement）

   • 定义：正数补码同原码；负数补码为反码加1。
   • 示例：
     +1 的补码：00000001
     -1 的补码：11111111（即 11111110 + 1）
   • 优点：0有唯一表示（00000000），支持加减统一运算，广泛用于整数存储。
   • 8位补码定点整数范围：-128 ~ +127（最小值-128对应 10000000）。

4. 移码（Excess Code / Biased Code）

   • 定义：在补码基础上将符号位取反，常用于浮点数的阶码表示。
   • 示例（偏置值通常为128）：
     +1 的移码：10000001（补码 00000001 → 符号位取反）
     -1 的移码：01111111（补码 11111111 → 符号位取反）
   • 特点：便于比较大小（真值越大，移码形式也越大）。

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二、定点数与浮点数

1. 定点数（Fixed-Point Number）

   • 小数点位置固定，分为定点整数和定点小数。
   • 8位补码定点整数范围：-128 ~ +127
   • 8位补码定点纯小数范围：-1.0 ~ +0.9921875（如 1.0000000 表示 -1.0）

2. 浮点数（Floating-Point Number）

   • 形式：N = 2^E × F，其中 E 为阶码（决定范围），F 为尾数（决定精度）。
   • 规格化：使尾数绝对值 ∈ [0.5, 1)，提高有效位利用率。

3. IEEE 754 标准

   • 单精度（32位）：1位符号 + 8位阶码（偏置127）+ 23位尾数
     示例：+1.0 表示为 0 01111111 00000000000000000000000
   • 双精度（64位）：1位符号 + 11位阶码（偏置1023）+ 52位尾数
   • 特殊值：阶码全1时，尾数为0表示±∞，尾数非0表示 NaN。

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三、校验码

1. 奇偶校验码（Parity Check）

   • 原理：添加1位校验位，使整个编码中“1”的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。
   • 能力：仅能检测奇数位错误，不能纠错。

2. 海明码（Hamming Code）

   • 原理：插入 k 个校验位，满足 2^k ≥ n + k（n为数据位数）。
   • 示例：8位数据需4位校验位（因 2⁴=16 ≥ 8+4=12）
   • 错误定位：通过各校验组计算出错位置（如 G4G3G2G1=1010 表示第10位出错），可自动纠正单比特错误。

3. 循环冗余校验码（CRC, Cyclic Redundancy Check）

   • 原理：利用模2除法生成 r 位校验码，附加到原始数据后传输。
   • 应用：广泛用于网络通信、磁盘存储等场景，检错能力强（可检测突发错误），但一般不用于纠错。

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这些机制共同构成了计算机中数据表示、运算处理与可靠传输的基础，是理解计算机组成原理的核心内容。

补码之所以能统一加减运算，是因为它将负数的表示转化为模运算下的等价正数表示，从而使得减法可以转换为加法来处理。其数学原理基于模（Modulus）运算和同余类（Congruence Class）。

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一、数学原理：模运算与同余

在 n 位二进制系统中，数值的表示范围是有限的，最大可表示 $2^n$ 个不同的值。当运算结果超出这个范围时，会发生“溢出”，但计算机自动保留低 n 位——这相当于对 $2^n$ 取模。

例如，在 8 位系统中：

• 最大无符号整数为 255（即 11111111）
• 若再加 1，则变为 00000000，即 256 ≡ 0 (mod 256)

因此，8 位系统的模为 $2^8=256$。

补码的核心思想：

负数 $-x$ 的补码表示，实际上是 $2^n-x$，也就是 $-x\equiv 2^n-x(\mathrm{mod}{2}^n)$

这样，任何减法运算 $A-B$ 都可以转化为：
$$A-B=A+(-B)\equiv A+(2^n-B)(\mathrm{mod}{2}^n)$$
而 $(2^n-B)$ 正是 $B$ 的补码形式。

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二、示例说明（以 8 位为例）

计算：$5-3$

传统方式：
$5-3=2$

使用补码转换为加法：

• 5 的补码：00000101
• 3 的补码：00000011
• -3 的补码：先取反得 11111100，再加 1 得 11111101

执行加法：

   00000101  (5)
+  11111101  (-3)
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 1 00000010  (结果为 2，最高位进位被丢弃)

结果为 00000010 = 2，正确！

这里的进位“1”超出了8位，被自然截断（模256意义下），正好得到正确结果。

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三、为什么能统一加减？

1. 无需区分加减操作
   CPU 只需实现一个加法器，通过控制是否取补码即可完成加减运算。

   • 加法：直接相加
   • 减法：将减数取补码后再相加

2. 0 的唯一表示
   补码中没有 +0 和 -0 的区别：

   • +0: 00000000
   • -0: 按规则计算得 00000000（因为 -0 的补码也是 0）
     → 避免了原码/反码中的歧义问题。

3. 符号位参与运算
   补码的符号位与其他位一样参与加法运算，无需单独处理符号逻辑。

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四、总结：补码统一加减的三大优势

特性	说明
模运算支持	利用 $2^n$ 模系统，使负数等价于一个大的正数
减法转加法	$A-B=A+(-B)$，其中 $-B$ 用补码表示
硬件简化	只需加法器，无需专门的减法电路

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