原码、反码、补码、移码的定义以及各自的优缺点

杭州蓝翔

已于 2024-10-14 09:06:48 修改

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文章标签：算法

于 2024-10-06 15:10:17 首次发布

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1、引言

计算机使用二进制存储数字。

简单来讲，由0和1两个数字组成的序列，称为二进制数。

在计算机科学中，二进制数主要有四种形式：原码、反码、补码、移码。

二进制数是由0和1两个数字组成的序列，这个序列中的每一个数字都有它自己的权重。从右

往左，这个序列每一位上的数字对应的权重依次是 $2^{0}$ 、 $2^{1}$ 、 $2^{2}$ 、 $2^{3}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$

例如，二进制数0101表示正整数5

计算过程（二进制转化为十进制）： $1 \times 2^{0}+ 0 \times 2^{1}+1 \times 2^{2}+0 \times 2^{3} =1+4 =5$

二进制数不仅能表示整数，而且能表示小数。

以小数点为分界点，小数点左侧，从右往左，每一位上的数字对应的权重依次是 $2^{0}$ 、 $2^{1}$ 、 $2^{2}$ 、

$2^{3}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ ；小数点右侧，从左往右，每一位上的数字对应的权重依次是 $2^{-1}$ 、 $2^{-2}$ 、 $2^{-3}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$

例如，二进制数0.1110表示小数0.875

计算过程（二进制转化成十进制）： $0 \times 2^{0}+ 1 \times 2^{-1}+ 1 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-3}+0 \times 2^{-4}$

$=0.5+0.25+0.125=0.875$

2、原码

虽然二进制数能表示整数和小数，但是只能表示正整数和大于零的小数。

为了能表示负整数和小于零的小数，引入原码。

规定二进制数中权重最大的位是最高位。

规定最高位是符号位的二进制数，称为原码。

符号位的数字是0，这样的二进制数表示正数。

符号位的数字是1，这样的二进制数表示负数。

原码的二进制布局示意图，如下图所示。

原码 $0XXXX \cdots$ = 二进制数 $XXXX \cdots$

原码 $1XXXX \cdots$ = $(-1) \times$ 二进制数 $XXXX \cdots$

例如，原码0101表示正整数5

注释：符号位是0，数值位是101。原码 0101= $1 \times 2^{0}+ 0 \times 2^{1}+1 \times 2^{2}=5$

再比如，原码1101表示负整数-5。

注释：符号位是1，数值位是101。原码 1101= $(-1)\times(1 \times 2^{0}+ 0 \times 2^{1}+1 \times 2^{2})=- 5$

再比如，原码101.1表示负数 $-1.5$

注释：符号位是1，数值位是01.1。原码101.1= $(-1)\times(0 \times 2^{1}+ 1 \times 2^{0}+1 \times 2^{-1})=- 1.5$

原码的优点

能表示正数和负数。

原码的缺点

不能直接参与算术运算。

例如，原码0101表示正整数5，原码1001表示负整数-1，原码0101与原码1001按位相加

得到原码1110，原码1110表示负整数-6。

按位相加的规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0向前（右）进一位。

计算过程如下图所示。

显然，5+（-1）= 4 ≠ -6，两个原码按位相加的结果是错误的。

因此，原码不能直接参与算术运算。

此外，原码存在正零和负零。

符号位是0，其余各位都是零的原码，表示正零。

符号位是1，其余各位都是零的原码，表示负零。

例如，原码0000表示正零，原码1000表示负零。

3、反码

虽然原码能表示正数和负数，但是不能直接参与算术运算。为了解决这个问题，引入补码。

补码能直接参与算术运算。

在介绍补码之前，先给出反码的定义。

反码视为原码和补码之间的过渡形式。

反码与补码的关系：反码的最低位加1，得到补码。

反码与原码的关系：反码的最高位和原码的最高位相同，正数的反码和原码完全相同。

负数的反码，由负数的原码按照一定规则转化得到。负数的原码最高位（符号位）保持不变，

其余各位取反，按照这样的规则得到负数的反码。

例如，反码0101表示正整数5

注释：符号位是0，说明这个反码表示正数。正数的反码和原码完全相同。因此，反码0101

对应原码0101，原码0101表示正整数5。

再比如，反码1101表示负整数 $-2$ 。

注释：符号位是1，说明这个反码表示负数。负数的反码和原码的符号位相同，其余各位取反，

得到原码1010。原码1010代表负整数 $-2$ 。

再比如，反码101.0表示负数 $-2.5$ 。

注释：符号位是1，说明这个反码表示负数。负数的反码和原码的符号位相同，其余各位取反，

得到原码110.1。原码110.1表示负数 $-2.5$ 。

反码的优点

不仅能表示正数和负数，而且能直接参与算术运算。

例如，反码0101代表正整数5，反码1001代表负整数-6。反码0101与反码1001按位相加，

得到反码1110，反码1110代表负整数-1。

注释：反码0101的符号位是0，反码0101对应原码0101，原码0101表示正整数5。

注释：反码1001的符号位是1，反码1001对应原码1110，原码1110表示负整数-6。

注释：反码1110的符号位是1，反码1110对应原码1001，原码1001表示负整数-1。

按位相加的规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0向前（右）进一位。

计算过程如下图所示。

显然，5+（-6）= -1 ，两个反码按位相加的结果是正确的。

因此，反码能直接参与算术运算。

反码的缺点

虽然反码能直接参与算术运算，但是存在一个弊端。两个反码相加的过程中，如果符号位

出现进位（1+1=0），那么最低位需要加1。

例如，反码1110与反码0011按位相加，得到反码0001。由于这两个反码相加的过程中，

符号位出现进位，最低位需要加1。最终的计算结果是反码0010。反码0010表示正整数2。

显然，（-1）+（3）= 2，两个反码按位相加的结果是正确的。

注释：反码1110表示负整数-1，反码0011表示正整数3，反码0010表示正整数2。

计算过程如下图所示。

再比如，反码1110.0与反码0011按位相加，得到反码0001.0。由于这两个反码相加的过程中，

符号位出现进位，最低位需要加1。最终的计算结果是反码0001.1。反码0001.1表示正数1.5。

显然，（-1.5）+（3）= 1.5，两个反码按位相加的结果是正确的。

注释：反码1110.0表示负数-1.5，反码0011表示正整数3，反码0001.1表示正数1.5。

计算过程如下图所示。

此外，反码存在正零和负零。

符号位是0，其余各位都是0的反码，表示正零。

符号位是1，其余各位都是1的反码，表示负零。

例如，反码0000表示正零，反码1111表示负零。

注释：反码0000的符号位是0，反码0000对应原码0000，原码0000表示正零。

注释：反码1111的符号位是1，反码1111对应原码1000，原码1000表示负零。

4、补码

虽然反码能直接参与算术运算，但是存在一些弊端。两个反码相加的过程中，如果符号位

出现进位（1+1=0），那么最低位需要加1。此外，反码存在正零和负零。为了解决这些问题，

引入补码。

补码能直接参与算术运算。而且，两个补码相加的过程中，当符号位出现进位（1+1=0），

最低位不需要加1。这大大提高了运算效率，降低了算术运算过程的复杂度。此外，补码

不存在正零和负零之分。使用补码表示零，只有一种表示形式：每一位上的数字都是零。

补码与反码的关系：反码的最低位加1，得到补码。

补码与原码的关系：补码的最高位和原码的最高位相同，正数的补码和原码完全相同。

负数的补码，由负数的原码按照一定规则转化得到。负数的原码最高位（符号位）保持不变，

其余各位取反，然后最低位加1，按照这样的规则得到负数的补码。

例如，补码0101表示正整数5

注释：符号位是0，说明这个补码表示正数。正数的补码和原码完全相同。因此，补码0101

对应原码0101，原码0101表示正整数5。

再比如，补码1001表示负整数-7

注释：符号位是1，说明这个补码是负数。负数的补码和原码的符号位相同，其余各位取反，

然后最低位加1，得到原码1111。原码1111表示负整数-7。

再比如，补码1001.1表示负数-6.5

注释：符号位是1，说明这个补码是负数。负数的补码和原码的符号位相同，其余各位取反，

然后最低位加1，得到原码1110.1。原码1110.1表示负数-6.5。

补码的优点

能表示正数和负数。

能直接参与算术运算。与反码相比，算术运算过程的复杂度更低。

例如，补码0101代表正整数5，补码1011代表负整数-5。补码0101与补码1011按位相加，

得到补码0000。这两个补码相加的过程中，符号位出现进位。与反码不同，在符号位出现

进位的情况下，补码的最低位不需要加1。最终的计算结果就是补码0000。补码0000表示零。

显然，（5）+（-5）= 0，两个补码按位相加的结果是正确的。

注释：补码0101的符号位是0，补码0101对应原码0101，原码0101表示正整数5。

注释：补码1011的符号位是1，补码1011对应原码1101，原码1101表示负整数-5。

注释：假设机器字长是4bit，补码0101和补码1011按位相加，得到补码0000。这两个

补码相加的过程中，符号位出现进位（1+1=0）。受到机器字长的限制，二进制数的

位数不超过4位，补码0000的符号位左侧的位是不存在的。因此，最终得到的补码就是0000。

计算过程如下图所示。

再比如，补码0101.1代表正数5.5，补码1011代表负整数-5。补码0101.1与补码1011按位相加，

得到补码0000.1。这两个补码相加的过程中，符号位出现进位（1+1=0）。补码0000.1的符号位

左侧的位是不存在的。因此，最终得到的补码是0000.1。补码0000.1表示正数0.5。

显然，5.5+（-5）=0.5，两个补码按位相加的结果是正确的。

注释：补码0101.1至少占用5bit。不妨设机器字长是5bit，并且二进制数最低位的权重是 $2^{-1}$ 。

注释：补码0101.1的符号位是0，补码0101.1对应原码0101.1，原码0101.1表示正数5.5。

注释：事先假设机器字长是5bit，并且二进制数最低位的权重是 $2^{-1}$ 。因此，补码1011事实上

是补码1011.0。补码1011.0的符号位是1，补码1011.0表示负数。补码1011.0对应原码1101.0，

原码1101.0表示负整数-5。

注释：补码0000.1的符号位是0，补码0000.1对应原码0000.1，原码0000.1表示正整数0.5。

计算过程如下图所示。

此外，使用补码表示零，只有一种表示形式：每一位上的数字都是零。

补码不会出现正零和负零之分。

与原码及反码相比，补码在算术运算、零的表示这两方面更具优势。因此，计算机普遍使用

补码存储数据，尤其是整数类型数据。然而，对于小数类型数据，受到机器字长的限制，

如果计算机使用补码存储小数类型的数据，那么实际上存储的可能是小数的近似值。

举例来讲，小数0.1对应的二进制数是一个无限循环的由0和1组成的序列0.0001100110011

0011••• 。计算机使用二进制存储数据，假设使用补码的形式去表示这个二进制数，那么这个

二进制数对应的补码的位数必然无限的。由于受到机器字长的限制，计算机实际只能保留有限

位数的补码。这意味着计算机实际存储的是0.1的近似值。

当然，某些小数能被精确表示。例如，小数0.5对应的二进制数是0.1。不妨设机器字长是4bit，

并且最低位的权重是2^(-2)。小数0.1对应的二进制数事实上是00.10。二进制数00.10对应原码

00.10，原码00.10对应补码00.10。因此，某些小数能被精确表示。

事实上，计算机不使用补码去存储小数类型数据，而是使用“移码+原码”的组合形式去存储小数

类型数据。这里不展开介绍，关于小数类型数据的存储方式，敬请关注后续推文。

总之，计算机使用补码存储整数类型数据，使用补码对整数类型数据进行算术运算。计算机使用

“移码+原码”的组合形式去存储小数类型数据，使用这种组合形式对小数类型数据进行算术运算。

注意事项

特别规定：符号位是1，其余各位都是0的补码，表示负整数 $-2^{n}$ 。其中，n代表补码的数值位

的位数。例如，补码1000表示负整数-8。补码1000 0000表示负整数-128。

这种特殊的补码的二进制布局示意图，如下图所示。

这种特殊的补码没有对应的原码，或者说这样的补码不能转化为原码。

补码的缺点

任意两个补码不能直接比较大小。

具体来说，任意两个补码比较大小，必须先判断两者的符号位。

如果两者的符号位不同，那么符号位是0的补码一定大于符号位是1的补码。

如果两者的符号位相同，那么也不能直接判断两者的大小。需要根据符号位的具体情况，

分类讨论。

例如，补码0001和补码0111的符号位都是0，补码0001小于补码0111。

注释：补码0001表示正整数1，补码0111表示正整数7。

再比如，补码1111和补码1001的符号位都是1，补码1111大于补码1001。

注释：补码1111表示负整数-1，补码1001表示负整数-7。

5、移码

为了能直接判断两个二进制数的大小，引入移码。

移码是一种特殊的二进制数。

移码不能直接参与算术运算。但是，与补码相比，移码具有一个突出优势，那就是任意两个

移码能直接比较大小。具体来说，移码0000 ~ 1111构成一个严格单调增大的数列{ 0000，0001，

0010，0011，0100，0101，0110，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，

1111}。

换而言之，移码0000 < 移码0001 < 移码0010 < ··· < 移码1110 < 移码1111

移码与补码的关系：移码，由补码按照一定规则转化得到。补码的符号位取反，其余各位保持

不变，按照这样的规则得到移码。这样的移码，称为“标准的移码”，偏移值是 $2^{k-1}$ ，其中k是

移码的位数。

移码有符号位。但是，移码的符号位是1表示正数，移码的符号位是0表示负数。

例如，移码0101表示负整数-3

注释：移码0101对应补码1101，补码1101对应原码1011，原码1011表示负整数-3。

再比如，移码1111表示正整数7

注释：移码1111对应补码0111，补码0111对应原码0111，原码0111表示正整数7。

再比如，移码0000表示负整数-128

注释：移码0000对应补码1000，补码1000表示负整数-128。

移码的优点

任意两个移码能直接比较大小。

移码的用途

在计算机科学中，利用移码的独特优势，使用移码表示浮点数的指数域。这样的做法，有助于快速

比较两个浮点数的指数大小。

移码的缺点

不能直接参与算术运算。

此外，值得一提的是，在某些特定的情况下，会使用非标准的移码。标准的移码与非标准的移码的

区别在于偏移值。

偏移值等于 $2^{k-1}$ （k是移码的位数）的移码，称为标准的移码。

偏移值不等于 $2^{k-1}$ （k是移码的位数）的移码，称为非标准的移码。

IEEE 754技术标准选用的移码是非标准的，它的偏移值是 $2^{k-1}-1$ 。其中，k是移码的位数。

无论是标准的移码，还是非标准的移码，都能直接比较大小。

偏移值不会对移码的大小判断造成影响。

标准的移码转化为十进制数的计算公式：把标准的移码视为“不带符号位的二进制数”，把“不带

符号位的二进制数”转化为十进制数，再减去偏移值 $2^{k-1}$ （k是移码的位数），最后的计算结果

就是标准的移码所对应的十进制数。

非标准的移码转化为十进制数的计算公式：把非标准的移码视为“不带符号位的二进制数”，把

“不带符号位的二进制数”转化为十进制数，再减去偏移值（可能是 $2^{k-1}-1$ ，根据实际情况

确定），得到的计算结果就是非标准的移码所对应的十进制数。