IEEE 754 是浮点数在计算机中的标准表示方法，其核心结构由三部分组成

IEEE 754 是浮点数在计算机中的标准表示方法，其核心结构由三部分组成：符号位 $ S $、阶码（指数）$ E $ 和尾数（有效数字）$ b_0b_1\cdots b_{p-1} $。其数值表示形式为：

$$(-1{)}^S\times 2^E\times (1.b_0{b}_1{b}_2\cdots b_{p-1})$$

其中：

• 符号位 $ S $：决定正负（0 为正，1 为负）
• 阶码 $ E $：使用移码表示，实际存储值 = 真值 + 偏移量（Bias）
• 尾数：以原码表示，规格化时隐含前导 1，提高精度

IEEE 754 三种主要格式对比：

参数	单精度 (32位)	双精度 (64位)	扩充精度 (80位)
总长度	32	64	80
符号位 $ S $	1	1	1
指数长度 $ E $	8	11	15
尾数长度 $ P $	23	52	64
偏移量（Bias）	127	1023	16383
最大指数	+127	+1023	+16383
最小指数	-126	-1022	-16382
数值范围	$10^{-38}\sim 10^{38}$	$10^{-308}\sim 10^{308}$	$10^{-4932}\sim 10^{4932}$

注：最小指数不包括 -127/-1023/-16383，因为全 0 阶码用于表示零和非规格化数。

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IEEE 754 数值分类

1. 规格化数（Normalized）

   • 阶码既不全 0 也不全 1
   • 尾数隐含前导 1 → 实际精度为 $ P+1 $ 位
   • 表示范围：$ 1 \leq M < 2 $
   • 指数真值 = 阶码 - 偏移量

2. 非规格化数（Denormalized / Subnormal）

   • 阶码全为 0
   • 尾数无隐含 1，表示非常接近 0 的小数
   • 指数固定为 $ -Bias + 1 $（如单精度为 -126）

3. 特殊值

   • 阶码全为 1
     • 尾数全 0 → 表示 ±∞（取决于符号位）
     • 尾数非 0 → 表示 NaN（Not a Number）

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示例解析：单精度浮点数阶码计算

给定阶码字段 10110011（二进制），即十进制 $ 179 $

• 偏移量为 127，故真值为：
  $$E=179-127=52$$

因此该浮点数的指数部分为 $ 2^{52} $，结合尾数与符号位可还原完整数值。

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IEEE 754 的作用在于统一了浮点数的存储与运算标准，确保跨平台数据兼容性，被现代 CPU、GPU、编译器、编程语言（如 C、Java、Python）广泛支持。
将一个十进制浮点数转换为 IEEE 754 单精度（32位）二进制格式，需按以下步骤进行：

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✅ 步骤详解：十进制 → IEEE 754 单精度浮点数

1. 确定符号位 $ S $

• 若数为正：$ S = 0 $
• 若数为负：$ S = 1 $

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2. 将绝对值转换为二进制小数

例如：将 13.625 转换为二进制

• 整数部分 13：
  $ 13 \div 2 = 6\cdots1 $
  $ 6 \div 2 = 3\cdots0 $
  $ 3 \div 2 = 1\cdots1 $
  $ 1 \div 2 = 0\cdots1 $ → 反向得 1101

• 小数部分 0.625：
  $ 0.625 \times 2 = 1.25 $ → 取 1
  $ 0.25 \times 2 = 0.5 $ → 取 0
  $ 0.5 \times 2 = 1.0 $ → 取 1
  得 0.101

→ 合并：1101.101

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3. 规格化表示（科学计数法）

移动小数点，使形式为 1.xxxx × 2^E：

1101.101 = 1.101101 × 2^3

• 隐含前导 1
• 指数 $ E = 3 $

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4. 计算阶码（指数字段）

使用偏移量 +127：

$$\text{阶码}=3+127=130$$

将 130 转为 8 位二进制：

• $ 130 = 128 + 2 = 10000010_2 $

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5. 提取尾数部分

从规格化结果 1.101101 中取出小数点后部分：

• 尾数应为 23 位：补零到 23 位
• 101101 → 扩展为 10110100000000000000000

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6. 组合三部分（S + E + M）

部分	值
符号位 $ S $	0（正数）
阶码 $ E $	10000010
尾数 $ M $	10110100000000000000000

→ 完整 32 位表示：

0 10000010 10110100000000000000000

→ 分组写成十六进制更方便：

• 二进制：0100 0001 0101 1010 0000 0000 0000 0000
• 十六进制：0x415A0000

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✅ 最终答案示例

以 13.625 为例：

• IEEE 754 单精度二进制表示为：
  0 10000010 10110100000000000000000
• 十六进制表示为：0x415A0000

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❗特殊情况注意

• 数为 0 → 阶码和尾数全 0，符号位决定 ±0
• 非规格化数（接近 0）→ 阶码全 0，无隐含 1
• ∞ 或 NaN → 阶码全 1，视尾数而定

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IEEE 754 标准确保了不同系统间数值一致，此转换过程是理解浮点精度、舍入误差的基础。